次の不定方程式のすべての整数解を求めよ。

（１）$3x+5y=0$

（２）$3x+5y=1$

（３）$3x+5y=2$

解答例

» 問題#C001を閉じる

$3$円切手と$5$円切手を何枚か使って$62$円のハガキを送るとき、$3$円切手と$5$円切手の枚数の組み合わせは何通りあるか。

解答例

» 問題#C002を閉じる

$4$(L)のビーカーと$5$(L)のビーカーを何回か使って$49$(L)の水を汲むとき、ビーカーの合計使用回数が最も少なくなるような水の汲み方を答えよ。

解答例

» 問題#C003を閉じる

正の整数 $x$、$y$ が等式 $4x+5y=73$ を満たすとき、和 $x+y$ の最大値と、そのときの組$(x,y)$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C004を閉じる

整数 $x$、$y$ が等式 $2x+3y=42$ を満たすとき、積 $xy$ の最大値と、そのときの組$(x,y)$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C005を閉じる

次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。

（１）$xy+x-2y-4=0$

（２）$x^2+x-y^2+y-2=0$

（３）$x^2+3xy+2y^2-4=0$

解答例

» 問題#C006を閉じる

次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。

（１）$x^3+x^2+xy+y-3=0$

（２）$x^2y+y-10=0$

（３）$x^3+2x^2y+xy+2y^2-6=0$

（４）$2x^2+2xy-4x+y^2+3=0$

解答例

» 問題#C007を閉じる

次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。

（１）$x^2=y^2-2y+4$

（２）$x^3=y^3+7$

（３）$x^3=91-y^3$

解答例

» 問題#C008を閉じる

次の方程式を満たす正の整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。

（１）$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$

（２）$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}$

（３）$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=1$

解答例

» 問題#C009を閉じる

正の整数 $x、y、z$ は以下の条件

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$、$x \leqq y \leqq z$

を満たす。

（１）$1<x \leqq 3$ を示せ。

（２）正の整数 $x、y、z$ の組$(x,y,z)$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C010を閉じる

$2 \leqq p < q < r$ を満たす整数 $p、q、r$ の組で、$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \geqq 1$ となるものをすべて求めよ。

解答例

» 問題#C011を閉じる

方程式$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{4}{3} \ \ \cdots \cdots ①$$ を満たす正の整数の組$(x,y,z)$について考える。

（１）$x=1$ のとき、方程式①を満たす正の整数 $y、z$ の組をすべて求めよ。

（２）$x$の取り得る値を求めよ。

（３）方程式①を解け。

解答例

» 問題#C012を閉じる

$p、q$ は素数で、$p<q$ とする。

（１）$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}$ を満たす整数$r$は存在しないことを示せ。

（２）$\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}$ を満たす整数$r$が存在するのは、$p=2$、$q=3$ のときに限ることを示せ。

解答例

» 問題#C013を閉じる

$x、y$ を自然数とする。

（１）$\dfrac{3x}{x^2+2}$ が自然数であるような$x$をすべて求めよ。

（２）$\dfrac{3x}{x^2+2}+\dfrac{1}{y}$ が自然数であるような組$(x,y)$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C014を閉じる

（１）

$abc=a+b+c$ かつ $1 \leqq a \leqq b \leqq c$ を満たす整数 $a、b、c$ の組をすべて求めよ。

（２）

$abcd=a+b+c+d$ かつ $1 \leqq a \leqq b \leqq c \leqq d$ を満たす整数 $a、b、c、d$ の組をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C015を閉じる

次の条件を満たす整数 $l、m、n$ を求めよ。

$lmn+l+m+n=mn+nl+lm+15$、$l>m>n>0$

解答例

» 問題#C016を閉じる

2次方程式 $x^2-2mx+m+1=0$ が整数解を持つような整数 $m$ をすべて求めよ。また、そのときの整数解をそれぞれの $m$ に対して求めよ。

解答例

» 問題#C017を閉じる

$m$ は負でない整数とする。3次方程式 $x^3-3m^2x+18m=0$ がただ一つの整数解を持ち、それ以外に実数解を持たないような $m$ をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C018を閉じる

等式 $3x^2+y^2+5z^2-2yz-12=0$ を満たす負でない整数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C019を閉じる

$a、b$ は $a \geqq b>0$ を満たす整数とし、$x$ と $y$ の2次方程式

$ x^2+ax+b=0$、$y^2+by+a=0 $

がそれぞれ整数解を持つとする。

（１）$a=b$ のとき、条件を満たす整数 $a$ をすべて求めよ。

（２）$a>b$ のとき、条件を満たす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#C020を閉じる