創作整数問題#1解法&創作整数問題#2

今日は創作整数問題#1の解答例をアップします。創作整数問題#2も付けておきます。こちらは下一桁系の話題です。


《問題#2》

数列{an}an=4n+n4 (n=1,2,)と定めるとき、a2017の下一桁の数を求めよ。

(創作問題)


2017項目まで求める人は流石にいないと思いますが・・・。こういう問題では4nn4を別々に考えると良いでしょう。前回に続いて2017という数字が登場していますが、今年の西暦であるという以外には特に意味がありません。

 

 

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答えは 5 です。詳しい解答は後日。

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創作整数問題#1(解き方)


さて、前回の#1はN=999999201788で割ったときの余りを求める問題でした。今回の問題#2も似た感じです。本問の場合、88というのが解きにくい原因なので、これを811に分けて考えます。

N=9999992014000+999と分けられますから、N8で割った余りは9998で割った余りに等しくなります。999=1248+7なので余りは7です。

また、N=99999920160+9と分けられますから、N11で割った余りは911で割った余りに等しくなり、余りは9です。

以上よりN=8k+7=11l+9 (k,lZ)となりますから、ここからは一次不定方程式8x+7=11y+9を解くだけです。そこで(1)8x11y=2とします。

x=3y=2はこの等式を満たすので、(2)83112=2となり、(1)から(2)を引くと(3)8(x3)11(y2)=0となります。811は互いに素ですから、x3=0,±11,±22,y2=0,±8,±16,となる必要があります。88で割ったときの余りを求めたいのですから、余りは88より小さくなければなりません。上記の組のうちで 8(x3) および 11(y2)88より小さい非負整数となるのは (x,y)=(3,2) のときのみです。

これを8x+711y+9に代入すれば31を得ます。故にN=88n+31と表されることが分かりましたから、求める余りは31となります。


(コメント)

88のまま剰余を考えることもできますが、解答例のように素因数別に分けた方が少し楽になると思います。皆さんの知っている道具しか使っていないはずなので、解けなかった人は教科書や参考書などを見直してみて下さい。


(2019/04/16追記)

N9999992014000+999と分ければ第1項は11かつ8の倍数であるから88で割り切れる。よってN88で割った余りは99988で割った余りに等しく、上記のような冗長な議論は不要で、31と直ちに求められる。

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