今日は創作整数問題#1の解答例をアップします。創作整数問題#2も付けておきます。こちらは下一桁系の話題です。
《問題#2》
数列をと定めるとき、の下一桁の数を求めよ。
(創作問題)
項目まで求める人は流石にいないと思いますが・・・。こういう問題ではとを別々に考えると良いでしょう。前回に続いてという数字が登場していますが、今年の西暦であるという以外には特に意味がありません。
創作整数問題#1(解き方)
さて、前回の#1はをで割ったときの余りを求める問題でした。今回の問題#2も似た感じです。本問の場合、というのが解きにくい原因なので、これをとに分けて考えます。
と分けられますから、をで割った余りはをで割った余りに等しくなります。なので余りはです。
また、と分けられますから、をで割った余りはをで割った余りに等しくなり、余りはです。
以上よりとなりますから、ここからは一次不定方程式を解くだけです。そこでとします。
、はこの等式を満たすので、となり、からを引くととなります。とは互いに素ですから、、となる必要があります。で割ったときの余りを求めたいのですから、余りはより小さくなければなりません。上記の組のうちで および がより小さい非負整数となるのは のときのみです。
これをに代入すればを得ます。故にと表されることが分かりましたから、求める余りはとなります。
(コメント)
のまま剰余を考えることもできますが、解答例のように素因数別に分けた方が少し楽になると思います。皆さんの知っている道具しか使っていないはずなので、解けなかった人は教科書や参考書などを見直してみて下さい。
(2019/04/16追記)
をと分ければ第1項はかつの倍数であるからで割り切れる。よってをで割った余りはをで割った余りに等しく、上記のような冗長な議論は不要で、と直ちに求められる。
“創作整数問題#1解法&創作整数問題#2” への1件の返信