こんにちはpencilです。本日は創作整数問題#2の解答例をアップさせて頂きます。#3も掲載します。次の問題はちょっとした知識問題(？)かもしれません。
《問題#3》
$n!+10$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。
（創作問題）
さて、まともに攻めると埒が明きません。こんな問題は入試で出ませんが、数学コンテストとかに出すと確実に易問扱いされます(笑)。
» 答えはこちら 答えは $\color{red}{n=3}$ です。詳しい解答は後日。 » 閉じる
創作整数問題#2（解き方）
さて、前回の#2は$$a_n=4^n+n^4 \ (n=1,2,\cdots)$$で定義される数列の$a_{2017}$の下一桁の数を求める問題でした。漸化式で定義される数列の余りは周期性を持つという点を踏まえて答えを探すので、具体値の計算は全く必要ありません。$a_{2017}$がどんな数になるのかは私も知りません(笑)。
$4^n$の下一桁の数は周期$2$で $4$、$6$、$\cdots$ を繰り返しますから、$2017$が奇数であることを考えると$4^{2017}$の下一桁の数は$4$と分かります。
また、$n^4$の下一桁の数は周期$10$で $1$、$6$、$1$、$6$、$5$、$6$、$1$、$6$、$1$、$0$、$\cdots$ を繰り返します（ここは頑張って計算しましょう）。$2017 \equiv 7 \ \pmod{10}$ですから$2017^4$の下一桁の数は$1$と分かります。
したがって$a_{2017}$の下一桁の数は$4+1$で $5$ と求められます。
（コメント）
前回の問題#1の方が難しかったかもしれませんね。問題#3も、あることに気付いてしまえば簡単な問題です。「平方数」と聞いたらピンと来て欲しいところですね。
因みに $a_{2017}=4^{2017}+{2017}^4$ は
「226465738829569161975322434745373167655656829069318485954438016309772371993041879302029347427243311645045474831032715238348593730528149696644258702003493533948330320694434635354466004512199250856870605313132099320293649539559261730391623710407835805258175748321372340256443973249338892198189750927083119292203042559521702000660819959927988853599484644350646005248880900550018064691295670952845201199229527031275939201095427180846483986994017452570761745104250453207137779251654682002410873471186100581709229201135463807215995232262556116682812089797872761279722029363954710092264338886557701980610208500526444331965538978786090832789224812746279714769098112346232807212830552083554764485061736789175628873536382082242223587788603776532223453590462593644449883018624442995244950613499153910864290210354438465505723576385925458005178622619292570195293039008862865173407997678870249224708259718528202756060057622314777634457414160722597640435622094192765421696221088724571360709949184759056089201543739537935929367606632737705330499107888343623174061838402480272734500725311854545979198329867322125034645303071186968569414121921152699294945164289910734882363885158571148792920325457207473571642703486154451567901816705」
という1215桁の数です。これを手計算で求めるのは流石に無理がありますね･･･。