今年も試験シーズンが終わり、いよいよ春らしくなってきましたね。
最近はほとんど更新できていませんでしたが、大学入試整数問題シリーズの続編です。今回は一橋大学の数学から。
《問題》
$p$を自然数とする。数列$\{a_n\}$を
$a_1=1$、$a_2=p^2$、$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}+13$（$n=1,\,2,\,3,\cdots$）
により定める。数列$\{a_n\}$に平方数でない項が存在することを示せ。
（一橋大学2019年 第１問）
《考え方》
数列$\{a_n\}$は定数項を含む隣接３項間漸化式で定義されており、ここから一般項を導くのは容易ではありません。また、第２項が文字で置かれていることも難しそうに見える原因になっています。
こうした状況で「数列$\{a_n\}$に平方数でない項が存在する」という抽象的な命題を示すのは難しいように感じられますが、こういうときこそ数列を書き下して調べるという原始的な方法がおすすめです。
「数列$\{a_n\}$に平方数でない項が存在する」ということは、「数列$\{a_n\}$に平方数でない項が（少なくとも１つは）存在する」と言い換えられます。つまり、数列$\{a_n\}$には平方数となる項が沢山あるのでしょうが、どれか１項でも平方数でない項が存在することを言えればこの問題は解決します。
より具体的に言い換えると、数列$\{a_n\}$が平方数のみからなるように整数$p$を設定することはできない、ということになります。数列$\{a_n\}$が平方数ばかりになるような必要条件から絞り込みを考えていきます。
● ● ●
解答例
$a_3=p^2+12$、$a_4=25$、$a_5=26-p^2$、$a_6=14-p^2$、$a_7=1$、$a_8=p^2$、となることから、数列$\{a_n\}$は周期$6$で繰り返す。このうち$1$、$p^2$、$25$は平方数なので、平方数でない項になり得るのは $p^2+12$、$26-p^2$、$14-p^2$ に限られる。
ここで $p \geqq 4$ とすると、$$14-p^2 \leqq 14-16<0$$より、$14-p^2$ が平方数にならないことから、$p \leqq 3$ が必要となるが、
$p=1$ のとき、$a_3=13$ となり平方数でない。
$p=2$ のとき、$a_5=22$ となり平方数でない。
$p=3$ のとき、$a_3=21$ となり平方数でない。
以上より、任意の自然数$p$に対して数列$\{a_n\}$に平方数でない項が存在することが示された。
□
（コメント）
駿台の講評では「やや難」と評価されていたようですが、$a_n$を書き下して調べるという方針で解答すればそれほど行き詰まることはないと思います。ただ、設問文を一読しただけでは抽象性が高い印象を受けるので、方針をどのように立てるかが重要になります。
$a_n$が周期数列であることを見抜けなくても、次のように解答することができます。
別解
$q$を正の整数とする。$a_3=p^2+12$ より、これが平方数$q^2$に等しいとき、$$p^2+12=q^2$$ $$\therefore q^2-p^2=12$$ $$\therefore (q-p)(q+p)=12$$が成立する。$q-p$ と $q+p$ の偶奇が等しいこと、及び $q+p>0$ であることから、可能な組み合わせは$$\begin{cases} q-p=2 \\ q+p=6 \end{cases}$$に限られ、$(p,\,q)=(2,4)$ を得る。
$p=2$ とすると、$a_3=16$、$a_4=25$ となり平方数であるが、$$\begin{align} a_5 &=a_{4}-a_{3}+13 \\ &=25-16+13 \\ &=22 \end{align}$$となり、平方数でない。
故に、任意の自然数$p$に対して数列$\{a_n\}$に平方数でない項が存在する。
□
こちらの解法を選択した人も多かったのではないでしょうか。ただ、本解同様、平方数となるための必要条件を考えるという方針には変わりありません。
また、「平方数」という数の性質に着目した次のような解答も考えられます。
別解②
計算により $a_3=p^2+12$、$a_4=25$、$a_5=26-p^2$ を得る。ここで$$a_3+a_5=38$$となるが、２つの平方数の和が$38$になることはない。
故に、任意の自然数$p$に対して数列$\{a_n\}$に平方数でない項が存在する。
□
言われてみればなるほど、という感じです。なかなかエレガントな解答です。
この手の問題を見たら合同式！と反射的に考えてしまうと、今回の場合はよろしくないですね。少し計算すれば$\text{mod}$が使えないことが分かると思います。
● ● ●
今年の一橋数学は例年より少し解きやすくなった印象を受けました。ここ２年続けて空間座標系の出題がありましたが、今年はベクトル・図形は平面からの出題となりました。整数問題は第１問、確率問題は第５問に配置されているのも例年通りでした。
来年の一橋大の整数問題はもう少し難しくなるかもしれません。
問題文 a2=p^2です
Grooooos さん
当サイトをご覧頂きありがとうございます。
また、誤植のご指摘に感謝致します。
該当箇所を修正しました。この他にも誤植等を発見された場合は、お手数ですがコメントにてお知らせ頂ければ幸いです。
今度とも当サイトを宜しくお願い致します。