【数Ⅲ】双曲線関数の性質まとめ

数Ⅲ微積で扱われる双曲線関数についてまとめました。本稿では各種双曲線関数の定義とそれらの導関数・不定積分の導出について解説します！

 双曲線関数について

双曲線 $H:x^2-y^2=1$ のうち $x>0$ の部分は、実数$t$により$$x(t)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}},y(t)={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$$と媒介変数表示されます。代入してみると分かることですが、これは正しく双曲線 $H$ の点を表しています。

$$\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}=+\mathrm{\infty },\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}=\pm \mathrm{\infty }$$であり、相加・相乗平均の不等式より $x(t)\geqq 1$ が成り立つことから、点$({\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}},{\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}})$は双曲線 $H$ の $x>0$ の部分全体を隈なく動くことが分かります。

このように双曲線のパラメータ表示に用いられることから、関数 ${\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}$ や ${\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}$ は「双曲線関数」と呼ばれています。

双曲線関数には以下のような種類が存在します。

 公式 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

ここで、$${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$$という重要な公式を紹介しておきます。

これは以下のように証明することができます。$$\begin{array}{rl}& {\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x\\ & ={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2\\ & =\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}\\ & =1\end{array}$$この関係式は導関数の導出において利用します。

 各種導関数の導出

それでは、各種双曲線関数の導関数を導出していきましょう！

$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x$

$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$

$(\tanh x{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}x$

※途中で ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$ の関係式を使っています。

$(\mathrm{cosech}x{)}^{\prime }=-\coth x\cdot \mathrm{cosech}x$

$(\mathrm{sech}x{)}^{\prime }=-\tanh x\cdot \mathrm{sech}x$

$(\coth x{)}^{\prime }=-{\mathrm{cosech}}^{2}x$

※途中で ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$ の関係式を使っています。

 各種不定積分の導出

$\sinh x$ や $\cosh x$ の積分は、指数関数の単純な積分になるので全く難しくありません。結果だけ示すと、$${\displaystyle \int \sinh axdx=\frac{1}{a}\cosh ax+C}$$ $${\displaystyle \int \cosh axdx=\frac{1}{a}\sinh ax+C}$$のようになります。

$\tanh x$ の場合は少し難しいかもしれません。$$\int \tanh axdx=\int \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{e^{ax}+e^{-ax}}dx$$より、$u=e^{ax}+e^{-ax}$ と置くと、$du=a(e^x-e^{-x})dx$ となるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int \tanh axdx}& ={\displaystyle \int \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{e^{ax}+e^{-ax}}dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{du}{u}}\\ & =\frac{1}{a}\ln |u|+c\\ & =\frac{1}{a}\ln (e^{ax}+e^{-ax})+c\\ & =\frac{1}{a}\ln (2\cosh (ax))+c\\ & =\frac{1}{a}\ln (\cosh (ax))+(\frac{1}{a}\ln 2+c)\\ & =\frac{1}{a}\ln (\cosh (ax))+C\end{array}$$と求められます。

その他の双曲線関数についても、結果だけ載せておきます。関数の定義に立ち返れば証明は難しくないはずです。$$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C$$ $${\displaystyle \int \mathrm{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C}$$ $${\displaystyle \int \mathrm{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C}$$