コサインの逆数の積分(京都大学2019年前期理系数学第1問)

前回の記事に関連して、2019年の京都大学の理系数学から定積分の問題をピックアップします。

※ $\dfrac{1}{\cos x}$ の導関数と不定積分の導出法についてはこちら


《問題》

次の定積分の値を求めよ。

(1)$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^{2} x} d x$

(2)$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos x} d x$

(京都大学2019年 前期理系第1問)


《考え方》

(1)は分子に$x$が乗っているので $t=x^2$ などと置く置換積分が良さそうに見えますが、この方法では何の解決にもなりません。$(\tan x)^{\prime}=\dfrac{1}{\cos^{2} x}$ に気付くことができれば部分積分法で処理できます。

(2)は式変形の方法を知っていれば簡単ですが、知らないと捨て問扱いになってしまいます。でも、そもそも京大理系を志望するレベルの受験生で$\dfrac{1}{\cos x}$の積分ができないというのは有り得ないはず・・・ですよね?

 


解答例

 

(1)

$$\small \begin{align}
& \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cdot(\tan x)^{\prime} d x \\
&=\left[x \cdot \tan x\right]_{_0}^{^\frac{\pi}{4}} -\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \cdot \tan x \,d x \\
&=\frac{\pi}{4}+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x)^{\prime}}{\cos x} d x \\
&=\frac{\pi}{4}+[\log (\cos x)]_{_0}^{^\frac{\pi}{4}} \\
&=\frac{\pi}{4}+\log \frac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\color{red}{\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \log 2}
\end{align}$$

 

(2)

$$\small \begin{aligned}
& \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos x} \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{\cos ^{2} x} d x \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1-\sin ^{2} x} d x \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} d x \\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}\right) d x \\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{-(1-\sin x)^{\prime}}{1-\sin x}+\frac{(1+\sin x)^{\prime}}{1+\sin x}\right) d x \\
&=\frac{1}{2}\left[-\log|1-\sin x|+\log|1+\sin x|\right]_{_0}^{^\frac{\pi}{4}} \\
&=\frac{1}{2}\left[\log\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\
&=\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\right| \\
&=\frac{1}{2}\log\left|\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right| \\
&=\frac{1}{2}\log(\sqrt{2}+1)^2 \\
&=\color{red}{\log(\sqrt{2}+1)} \\
\end{aligned}$$


(コメント)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sin x} d x$ や $\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos x} d x$ の計算はパターン問題なので解けるように準備しておくことが望ましいでしょう。不安があるという方は「【数Ⅲ】1/sin x の微分と5通りの不定積分の導出法」や「【数Ⅲ】1/cos x の微分と6通りの不定積分の導出法」で今すぐ確認しましょう!

 

因みにこの年には名古屋大学でもコサインの逆数を積分させる問題が出題されています。単純計算だと思って侮っていると痛い目に遭います。

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