ネイピア数eの値を評価する(横浜市立大学2010年理系数学第4問)

横浜市立大学の入試からネイピア数eの値を評価する問題を紹介します。数Ⅲの良問と言える問題です。


《問題》

$a>0$ とする。以下の問いに答えよ。

(1)$0 \leqq x \leqq a$ をみたす$x$に対して$$1+x \leqq e^{x} \leqq 1+\dfrac{e^{a}-1}{a} x$$を示せ。

(2)(1)を用いて$$1+a+\frac{a^{2}}{2}<e^{a}<1+\frac{a}{2}\left(e^{a}+1\right)$$を示せ。

(3)(2)を用いて$$2.64<e<2.78$$を示せ。

(横浜市立大学2010年 理系第4問)


《考え方》

(1)は $y=e^x$ のグラフが下に凸であることを利用すると良いでしょう。式変形だけで押し切っても良いですが、図形的に式の意味を考える方が分かりやすい解答になります。

(2)一般に $\quad p \leqq x \leqq q$ において $f(x) \leqq g(x)$ が成立するならば$$\int_{p}^{q} f(x) d x \leqq \int_{p}^{q} g(x) d x$$が成り立ちます。この等号は $p \leqq x \leqq q$ で常に $f(x)=g(x)$ となるときに限って成立します。

(3)$a$ に色々な値を代入してみましょう。サービス問題です。


解答例

 

(1)

$y=e^{x}$ に対して$$y^{\prime}=e^{x}, \quad y^{\prime \prime}=e^{x}$$となるから $y^{\prime \prime}>0$ であり $y=e^x$ のグラフは下に凸である。

 

したがって、この曲線上に2点 $A(a, e^{a})$、$B(0,1)$ をとると、

(ⅰ) $B$における曲線の接線は、Tを除き曲線より下側にあり、

(ⅱ) 線分$AB$は両端を除き曲線より上側にある。

 

 

ここで、点$B$における接線の方程式は$$y=x+1$$であり、直線$AB$の方程式は$$y=\dfrac{e^{a}-1}{a} x+1$$である。よって $0 \leqq x \leqq a$ をみたす$x$に対して不等式$$1+x \leqq e^{x} \leqq 1+\dfrac{e^{a}-1}{a} x$$が成り立つ。

 

 

(2)

(1)の不等式は $0<x<a$ では等号が成り立たないことに注意すると、各辺を積分して$$\small \begin{array}{c}
\displaystyle \int_{0}^{a}(1+x) d x<\int_{0}^{a} e^{x} d x <\int_{0}^{a}\left(1+\dfrac{e^{a}-1}{a} x\right) d x \\
\therefore {\left[x+\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{a}<\left[e^{x}\right]_{0}^{a}<\left[x+\dfrac{e^{a}-1}{2 a} x^{2}\right]_{0}^{a}} \\
\therefore a+\dfrac{a^{2}}{2}<e^{a}-1<a+\dfrac{a}{2}\left(e^{a}-1\right) \\
\therefore 1+a+\dfrac{a^{2}}{2}<e^{a}<1+\dfrac{a}{2}\left(e^{a}+1\right)
\end{array}$$と示される。

※以上の解答は各面積を考えて不等式を得ているのと同じです。以下に関数を設定して微分法だけで不等式を導く別解を示しておきます。

 

(1)(別解)

$$\begin{array}{l}
f(x)=e^{x}-(1+x) \\
g(x)=\left(1+\dfrac{e^{a}-1}{a} x\right)-e^{x}
\end{array}$$と置く。
$$f^{\prime}(x)=e^{x}-1$$より、$f(x)$の増減は次のようになる。$$\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline x & \cdots & 0 & \cdots \\
\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + \\
\hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow \\
\hline
\end{array}$$よって $f(x) \geqq 0 \ \cdots ①$ となる。等号成立は $x=0$ のとき。

また、$$g^{\prime}(x)=\frac{e^{a}-1}{a}-e^x$$であり、これは単調減少である。ここで、$${\begin{align}g^{\prime}(0)&=\dfrac{e^{a}-1}{a}-1 \\ &=\dfrac{1}{a}\left(e^{a}-1-a\right)\end{align}}$$ $$\begin{align}g^{\prime}(a)&=\dfrac{e^{a}-1}{a}-e^{a} \\ &=\dfrac{e^{a}}{a}\left(1-e^{-a}-a\right)\end{align}$$となる。①より、$$\begin{array}{l}
g^{\prime}(0)=\dfrac{1}{a} f(a)>0 \\
g^{\prime}(a)=-\dfrac{e^{a}}{a} f(-a)<0
\end{array}$$これらと$g^{\prime}(x)$が単調減少であることから、$g^{\prime}(x)=0$ となる$x$が $0<2<a$ に1つだけ存在し、その値をとすると $g(x)$ の増減は次のようになる。$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline x & 0 & \cdots & x_{0} & \cdots & a \\
\hline g^{\prime}(x) & & + & 0 & – & \\
\hline g(x) & 0 & \nearrow & & \searrow & 0 \\
\hline
\end{array}$$これより $0 \leqq x \leqq a$ において $g(x) \geqq 0$ となる。よって $0 \leqq x \leqq a$ において不等式$$1+x \leqq e^{x} \leqq 1+\dfrac{e^{a}-1}{a} x$$が成り立つ。

 

 

(2)(別解)

$$\begin{array}{l}
F(x)=e^{x}-\left(1+x+\dfrac{x^{2}}{2}\right) \\
G(x)=\left\{1+\dfrac{x}{2}\left(e^{x}+1\right)\right\}-e^{x}
\end{array}$$と置くと、$$\begin{aligned}
F^{\prime}(x) &=e^{x}-(1+x) \\ &=f(x) \\
G^{\prime}(x) &=\frac{1}{2}\left(e^{x}+1\right)+\frac{x}{2} e^{x}-e^{x} \\
&=\frac{e^{x}}{2}\left(-1+e^{-x}+x\right) \\
&=\frac{e^{x}}{2} f(-x)
\end{aligned}$$よって(1)の別解の結果から $F^{\prime}(x) \geqq 0$ かつ $G^{\prime}(x) \geqq 0$ となる。等号は $x=0$ のときにのみ成立し、$F(x)$と$G(x)$はともに単調増加である。したがって$$\left\{\begin{array}{l}
F(a)>F(0)=0 \\
G(a)>G(0)=0
\end{array}\right.$$が言えるから$$1+a+\dfrac{a^{2}}{2}<e^{a}<1+\dfrac{a}{2}\left(e^{a}+1\right)$$の成立が示される。

 

 

(3)

(2)の不等式に $a=\dfrac{1}{2}$ を代入すると$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}<e^{\frac{1}{2}}<1+\frac{1}{4}\left(e^{\frac{1}{2}}+1\right)$$ $$\therefore \frac{13}{8}<e^{\frac{1}{2}}<\frac{5}{3}$$この各辺は正なので二乗して、$$\frac{169}{64}<e<\frac{25}{9}$$を得る。ここで、$\dfrac{169}{64}=2.640…$、$\dfrac{25}{9}=2.777…$ より、$$2.64<e<2.78$$が示される。


(コメント)

最終的に得られた不等式は面積の評価に由来しています。もし$a$をうんと小さい数字に取れば、(面積のズレが小さくなるので)さらに高精度で$e$の近似値を求めることができます。(3)で $a=\dfrac{1}{2}$ という値を見つけるのは少し難しいかもしれませんが、このことが頭にあれば「小さい$a$を代入すればよいのではないか?」と見当が付くはずです。

 

例えば $a=\dfrac{1}{10}$ とすると、計算はやや面倒ですが$$2.714<e<2.721$$くらいの精度で評価可能です。なお、$\small e=2.718281828…$ です。

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