今回は一昔前の東大理系数学で出題された不定方程式に関する整数問題を取り上げます。
次の条件を満たす組$(x,y,z)$を考える。
条件(A)：$x$、$y$、$z$は正の整数で $x^2+y^2+z^2=xyz$ および $x \leqq y \leqq z$ を満たす。
以下の問いに答えよ。
（１）条件(A)を満たす組$(x,y,z)$で、$y \leqq 3$となるものをすべて求めよ。
（２）組$(a,b,c)$が条件(A)を満たすとする。このとき、組$(b,c,z)$が条件(A)を満たすような$z$が存在することを示せ。
（３）条件(A)を満たす組$(x,y,z)$は、無数に存在することを示せ。
（2006年東京大学 前期理系第4問）
考え方
$n$個の変数$x_{1}$～$x_{n}$と定数$a$からなる$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}=a x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$$という形のディオファントス方程式は “Hurwitz Equation”「フルヴィッツの方程式」という名前が付いています。本問はこの方程式において $n=3$、$a=1$ としたものに相当しており、実質的に「マルコフ方程式」と同じものです。本問は前回の記事で取り上げたマルコフ数と大いに関係がある問題です。
（１）は単純なよくある整数問題ですね。解き方は色々考えられますが、得られる$z$の二次方程式を効率良く捌くだけです。すべてのパターンを数え上げても手間は掛かりません。
本問の肝は（２）です。手掛かりが無さそうに見えますが、$$\begin{cases} a^2+b^2+c^2=abc \\ b^2+c^2+z^2=bcz \end{cases}$$という連立方程式が得られるので、ここから上手く$z$を求めます。（３）では（２）で示した解の構成法を次々に用いることで、解の組が無数に存在することを証明します。
解答例
（１）
$x^2+y^2+z^2=xyz$ を$$z^2-(xy)z+(x^2+y^2)=0$$と$z$の二次方程式の形に整理する。これを満たす整数$z$が存在するならば、判別式が$0$以上であることが必要である。したがって$$x^{2} y^{2}-4 x^{2}-4 y^{2} \geqq 0 $$ すなわち $$\left(x^{2}-4\right)\left(y^{2}-4\right) \geqq 16 \tag*{･･･①}$$の成立が必要である。
$y=1$ のとき、$x \leqq y$ より $x=1$ に限るが、このとき$①$式は成り立たない。また、$y=2$ のときは $(x^{2}-4)(y^{2}-4)=0$ となるので$①$式は成り立たない。
したがって $y=3$ の場合に限られる。このとき$①$式は$$5\left(x^{2}-4\right) \geqq 16$$ $$\therefore \quad x^{2} \geqq 4+\frac{16}{5}$$となるから $x=3$ に限られる。よって$$z^2-9z+18=0$$ $$\therefore (z-3)(z-6)=0$$ $$z=3,\, 6$$を得るから、求める組$(x,y,z)$は$$\color{red}{(3,3,3),(3,3,6)}$$となる。
（２）
組$(b,c,z)$が条件(A)を満たすような$z$が存在するとき、$$b^{2}+c^{2}+z^{2}=b c z$$が成り立つ。仮定より組$(a,b,c)$は条件(A)を満たすから $b^{2}+c^{2}=a b c-a^{2}$ を代入して$$z^{2}-b c z+a b c-a^{2}=0$$ $$\therefore (z-a)(z-b c+a)=0$$ $$\therefore z=a, \, b c-a$$を得る。ここで $z=a$ は $b \leqq c \leqq z$ を満たさず不適であるから、$z=b c-a$ の場合に限られる。ここで、$$\begin{aligned} (bc-a)-c &=(b-1)c-a \\ & \geqq 2 c-a \quad(\because b \geqq 3) \\ &>0 \quad(\because c \geqq a) \quad \cdots ②\end{aligned}$$となるから $z>c$ が成り立つ。
故に、組$(b,c,z)$が条件(A)を満たすような$z$が存在する。
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（３）
$$\left(x_{1},\, y_{1},\, z_{1}\right)=(3,3,3)$$ $$\left(x_{n+1},\, y_{n+1},\, z_{n+1}\right)=\left(y_{n},\, z_{n},\, y_{n} z_{n}-x_{n}\right) \quad(n=1,2, \ldots)$$によって数列 $\left\{x_{n}\right\}$、$\left\{y_{n}\right\}$、$\left\{z_{n}\right\}$ を定めると、（２）および$②$より、$\left(x_{n},\, y_{n},\, z_{n}\right)$は$$z_{1}<z_{2}<\cdots<z_{n}<\cdots$$を満たすいずれも異なる正の整数組である。
故に、条件(A)を満たす組$(x,y,z)$は、無数に存在する。
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本問は誘導が非常に丁寧なので落としたくない問題です。条件を満たす数列が無数に存在することの証明は、
① 相異なる組の構成法を示す
もしくは
② 一般項の式を与える
という方針が相場です。本問はまさに①のタイプの整数問題で、類題の経験があった受験生なら容易に解決できたはずです。しかし、こういった問題に取り組んだ経験のない人にとっては掴み所の無い問題に見えたことでしょう。因みに②のタイプの問題は創作整数問題#52として当サイトで扱っていますので、是非参考にして下さい。
上述の通り、本問で扱われている方程式には「マルコフ方程式」という名前が付いており、今なお数論分野の研究対象になっています。詳しく知りたい方は前回の記事をご覧下さい！