三角形の辺に関連する整数問題(大阪医科大学2019年前期数学第1問)

大阪医科大学の前期試験から三角形の辺に関連する整数問題をピックアップします。いわゆる「ナゴヤ三角形」とその仲間に関する問題です。


《問題》

$\triangle \mathrm{ABC}$は、3辺の長さ $\mathrm{BC}=a$、$\mathrm{CA}=b$、$\mathrm{AB}=c$ が整数で $\angle \mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$ を満たすとする。

(1)$ab=21$ を満たすような$(a,b,c)$をすべて求めよ。

(2)$a+b+c=\dfrac{bc}{2}$ を満たすような$(a,b,c)$をすべて求めよ。

(大阪医科大学2019年 前期第1問)


《考え方》

角度が与えられているので、まずは余弦定理を用いて関係式を作りましょう。後は式変形で上手く絞り込みます。


解答例

 

(1)

$a,\,b,\,c$ は辺の長さなので正の整数であることに注意する。$\triangle \mathrm{ABC}$に対して余弦定理を適用すると$$\small \begin{align} & a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \frac{\pi}{3} \\ \therefore & \,\, c^{2}-b c+b^{2}-a^{2}=0 \quad \cdots ① \end{align}$$を得る。①を$c$の二次方程式と見て判別式を考えると、$$\small \begin{align} D &=b^{2}-4\left(b^{2}-a^{2}\right)\\ &=4 a^{2}-3 b^{2} \geqq 0 \quad \cdots ② \end{align}$$となる。②を満たす$a$、$b$で $ab=21$ を満たすものは $(a,b)=(7,3),(21,1)$ のみである。

 

$(a,b)=(7,3)$ を①に代入して $c=8$ を得る。

 

$(a,b)=(21,1)$ を①に代入すると $c^2-c-440=0$ となり正の整数解をもたない。

 

以上より、$$\small (a,b,c)=\color{red}{(7,3,8)} \quad \cdots (\text{答})$$を得る。

 

※参考図:

 

 

(2)

$\small a=\dfrac{b c}{2}-b-c$ の両辺を二乗すると$$\small a^{2}=\dfrac{b^{2} c^{2}}{4}-b^{2} c-b c^{2}+(a+b)^{2}$$となる。これを①に代入して整理すると$$\small b^{2} c^{2}-4 b^{2} c-4 b c^{2}+12 b c=0$$ $$\small \therefore (b-4)(c-4)=4 \quad (\because bc>0)$$と変形できる。これより$$\small (b,c)=(5,8),(6,6),(8,5)$$を得るので、$$\small \therefore (a,b,c)=\color{red}{(7,5,8),(6,6,6),(7,8,5)} \ \cdots (\text{答})$$と求められる。

 

※参考図:

 


(コメント)

本問は整数問題としては基本レベルですが、題材は意外と奥深かったりします。1つの角が$60^{\circ}$で各辺の長さが整数であるような三角形の3辺は$$\small \begin{cases} a=m^2-mn+n^2 \\ b=2mn-n^{2} \\ c=m^2-n^2 \end{cases}$$で与えられることが知られています。特に3辺が「7、5、8」の三角形を「ナゴヤ三角形」と俗称します。この名称は一松信先生の命名だそうです。遊び心がありますね(^▽^)

 

因みに、1つの角が$120^{\circ}$で各辺の長さが整数であるような三角形は「アイゼンシュタイン三角形」(Eisenstein triple) と呼ばれます。こちらの各辺は$$\small \begin{cases} a=m^{2}+m n+n^{2} \\ b=2 m n+n^{2} \\ c=m^{2}-n^{2} \end{cases}$$で与えられます。

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