京都大学2017年前期 理系第3問

さて、続く国公立大シリーズはやはり京大の問題ですね。Twitterで拾わせて頂いた整数問題です。(文系の第4問には誘導が付いていたようです)


《問題》

$p,q$を自然数、$\alpha , \beta$を$$\tan \alpha =\dfrac{1}{p}, \ \ \ \tan \beta =\dfrac{1}{q}$$を満たす実数とする。このとき$$\tan (\alpha+2\beta)=2$$を満たす$p,q$の組$(p,q)$をすべて求めよ。

(京都大学2017 理系第3問)


正接の加法定理を使うんでしょうか。素数縛りとかが無いのでちょっと面倒かもしれません。2倍角になっていますので、2次のディオファントス方程式になりそうです。誘導設問が無いですがビビらずに解いてみます。

さて、tangentの加法定理はsineとcosineの加法定理から導くことができます。例えば$\tan (\alpha + \beta)$の場合は

$$\begin{align} \tan (\alpha + \beta) &=\dfrac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} \\ &= \dfrac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \ – \ \sin \alpha \sin \beta } \\ &=\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1\ – \ \tan \alpha \tan \beta} \end{align}$$

となります。これより与式は$$\dfrac{\tan \alpha + \tan 2\beta}{1\ – \ \tan \alpha \tan 2\beta}=2$$となります。さらに$\tan 2\beta$に対して加法定理を用いると$$\begin{align} \tan 2\beta = \tan (\beta + \beta) &=\dfrac{2\tan \beta}{1\ – \ \tan^2 \beta} \\ &=\dfrac{2\cdot \dfrac{1}{q}}{1\ – \dfrac{1}{q^2}} \\ &=\dfrac{2q}{q^2-1} \end{align}$$となりますから、与式は

$$\tan \alpha + \tan 2\beta=2-2 \tan \alpha \tan 2\beta$$

$$\therefore \dfrac{1}{p}+\dfrac{2q}{q^2-1}=2-2 \cdot \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{2q}{q^2-1}$$

$$\therefore q^2-1+2pq=2p(q^2-1)-4q$$

$$\therefore (1-2p)q^2+2(p+2)q+2p-1=0$$

と整理できます。さて、ここで一端手を止めて次の一手を考えます。このディオファントス方程式をどう攻略すべきでしょうか。どうにかこうにか因数分解できないだろうか、或いは解の公式から根号の中味を完全平方数にするアプローチをとるか・・・。

2文字の式を整理する鉄則は「次数が低い方の文字について解く」ですから、今回もこれに従ってみます。

$$2p=\dfrac{q^2+4q-1}{q^2-q-1}=1+\dfrac{5q}{q^2-q-1}$$

となりますから、$\dfrac{5q}{q^2-q-1}$は整数(特にこの場合は奇数)であることが必要です。ここで$q=1$とすると$\tan 2\beta$が定義できませんし、$p$が負となるので不適です(答案の始めあたりに$q=1$は不適であるということを書いておきましょう)。故に$$5q \geqq q^2-q-1$$が必要であり、これから$q=2,3,4,5,6$に絞られます。

$q=2$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=10$となり右辺が奇数となってしまうので不適。

$q=3$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=3$となり$p=2$を得ます。よって$(p,q)=(2,3)$は求める自然数組の一つです。

$q=4$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=\dfrac{20}{11}$となり右辺が整数にならないので不適。

$q=5$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=\dfrac{25}{19}$となり右辺が整数にならないので不適。

$q=6$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=\dfrac{30}{29}$となり右辺が整数にならないので不適。

以上より、求める自然数$p,q$の組$(p,q)$は

$$(p,q)=(2,3)$$

となります。

 


2次のディオファントス方程式には色々な解法がありますが、今回は分数式を作り出すという形で処理しました。解の公式パターンで解くと割と大変そうだったので、こちらの解法を選択しました(実はそうでもないのかな・・・?)。恐らくこの方法が一番手っ取り早いのではないでしょうか。(2017/02/28追記 駿台も同様の解法を模範解答としています)

明日も試験がある人は手抜かりの無いように頑張って下さい!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です