創作整数問題#1解法&創作整数問題#2

今日は創作整数問題#1の解答例をアップします。創作整数問題#2も付けておきます。こちらは下一桁系の話題です。


《問題#2》

数列$\{ a_n \}$を$a_n=4^n+n^4 \ (n=1,2,\cdots)$と定めるとき、$a_{2017}$の下一桁の数を求めよ。

(創作問題)


$2017$項目まで求める人は流石にいないと思いますが・・・。こういう問題では$4^n$と$n^4$を別々に考えると良いでしょう。前回に続いて$2017$という数字が登場していますが、今年の西暦であるという以外には特に意味がありません。

 

 

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答えは $\color{red}{5}$ です。詳しい解答は後日。

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創作整数問題#1(解き方)


さて、前回の#1は$N=\underbrace{999 \cdots 999}_{2017個} $を$88$で割ったときの余りを求める問題でした。今回の問題#2も似た感じです。本問の場合、$88$というのが解きにくい原因なので、これを$8$と$11$に分けて考えます。

$N=\underbrace{999 \cdots 999}_{2014個} 000+999$と分けられますから、$N$を$8$で割った余りは$999$を$8$で割った余りに等しくなります。$999=124 \cdot 8 + 7$なので余りは$7$です。

また、$N=\underbrace{999 \cdots 999}_{2016個} 0+9$と分けられますから、$N$を$11$で割った余りは$9$を$11$で割った余りに等しくなり、余りは$9$です。

以上より$$N=8k+7=11l+9 \ (k,l \in \mathbb{Z})$$となりますから、ここからは一次不定方程式$$8x+7=11y+9$$を解くだけです。そこで$$8x-11y=2 \tag{1}$$とします。

$x=3$、$y=2$はこの等式を満たすので、$$8 \cdot 3-11 \cdot 2=2 \tag{2}$$となり、$(1)$から$(2)$を引くと$$8(x-3)-11(y-2)=0 \tag{3}$$となります。$8$と$11$は互いに素ですから、$x-3=0,\pm 11,\pm 22,\cdots$、$y-2=0,\pm 8,\pm 16,\cdots$となる必要があります。$88$で割ったときの余りを求めたいのですから、余りは$88$より小さくなければなりません。上記の組のうちで $8(x-3)$ および $11(y-2)$ が$88$より小さい非負整数となるのは $(x,y)=(3,2)$ のときのみです。

これを$8x+7、11y+9$に代入すれば$31$を得ます。故に$N=88n+31$と表されることが分かりましたから、求める余りは$$31$$となります。


(コメント)

$88$のまま剰余を考えることもできますが、解答例のように素因数別に分けた方が少し楽になると思います。皆さんの知っている道具しか使っていないはずなので、解けなかった人は教科書や参考書などを見直してみて下さい。


(2019/04/16追記)

$N$を$$\underbrace{999 \cdots 999}_{2014個} 000+999$$と分ければ第1項は$11$かつ$8$の倍数であるから$88$で割り切れる。よって$N$を$88$で割った余りは$999$を$88$で割った余りに等しく、上記のような冗長な議論は不要で、$31$と直ちに求められる。

 

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