創作整数問題#10解法&創作整数問題#11

私事で恐縮ですが、今月からは忙しくなってしまうのでなかなか更新が覚束ない期間が出てきてしまうと思います。3月は毎日更新してきただけに連続更新記録を更に伸ばしたいとも思っているのですが、なかなか難しいですね・・・(^_^;)。


《問題#11》

正の整数$a$、$b$は方程式$$3^a=2^b+1 \tag*{・・・・・・①}$$を満たす。

(1)$b$は奇数であることを示せ。また $b \geqq 3$ のとき$a$は偶数であることを示せ。

(2)方程式①を満たす正の整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。

(創作問題)


レベルアップしました。本格的なディオファントス方程式ですが誘導を付けたので皆さん解けますよね・・・?(笑)

指数型のディオファントス方程式を解くときはmodで必要条件を絞り込むアプローチが有効であることが多いです。さて、何で割った余りを考えれば良いでしょう?

 

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答えは $\color{red}{(a,b)=(1,1)、(2,3)}$ です。

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創作整数問題#10(解き方)


こちらも#9と同様、誘導がありませんでしたが置き換えによって条件が導けるはずです。

$\dfrac{n^2-1}{4}$ が正の完全平方数となるような正の整数 $n$ は存在しないことを示せ。

$n$が偶数のときは明らかに不適ですから$n$は奇数です。よってある自然数$k$を用いて $n=2k+1$ と置けます。これより、$$\begin{align} \dfrac{n^2-1}{4} &= \dfrac{(2k+1)^2-1}{4} \\ &=k^2+k \end{align}$$となります。$k \geqq 1$ のとき$$k^2<k^2+k<(k+1)^2 \tag*{・・・・・・②}$$となりますから、2つの平方数に挟まれる整数は平方数となり得ません。よって$\dfrac{n^2-1}{4}$が完全平方数となるような正の整数$n$は存在しないことが示されました。


(コメント)

②の部分は$$k^2+k=N^2 \tag*{・・・・・・③}$$と置いて矛盾を導くことも可能です。左辺は$k$の倍数ですから$N$も$k$の倍数です。よって $N=kd \ (d \in \mathbb{N})$ と置けますから$$k+1=kd^2$$ $$\therefore k(d^2-1)=1$$となります。$k$は正なのでこれを満たすのは $k=1$ かつ $d^2-1=1$ のときに限りますが、このような自然数$d$は存在しません。よって不合理なので③を満たすような自然数$N$は存在しませんから、$\dfrac{n^2-1}{4}$が完全平方数となるような正の整数$n$は存在しないことが示されます。

ある数が平方数にならないことを示すには、平方数を置いて矛盾を導くか、隣接する平方数で挟むか、平方非剰余であることを示す、という3つの方法が考えられます。いずれの方法も、いざというときのために是非身に付けておきたいテクニックです。

隣接2整数の積が平方数にならないことは半ば常識としておきたい事実ですね。

 

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