創作整数問題#23解法&創作整数問題#24


台風のシーズンですね。夜が日に日に涼しくなってきているのを感じます。


《問題#24》

$2^6+2^9+2^n$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。

(創作問題)


今回は易しめです。

 

 

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答えは $\color{red}{n=10}$ です。

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創作整数問題#23(解き方)


既約分数$F$は分子と分母の和が$1000$であり、小数に直して小数第$3$位を四捨五入すると$0.35$になるという。このような$F$をすべて求めよ。

分数 $F$ の分母を $d$ と置くと、$$F=\dfrac{1000-d}{d}$$となります。

前回のコメント欄で触れた通り、$F$ は既約分数でなければならないので、$1000-d$ と $d$ が互いに素でなければなりません。これより、$1000$ と $d$ が互いに素、つまり $d$ が$2$及び$5$を素因数にもたないような $F$ を求めれば良いことになります。さて、問題文の条件より、$$0.345 \leqq F < 0.355$$となるので、$$0.345d \leqq 1000-d < 0.355d$$より、$$738.007…< d \leqq 743.494…$$を得るので、$d$の候補は$739$~$743$までの$5$つの数です。このうち$2$及び$5$を素因数にもたないような数は$739$、$741$、$743$の$3$つなので、求める既約分数$F$は$$\color{red}{F=\dfrac{257}{743}、\dfrac{259}{741}、\dfrac{261}{739}}$$となります。


(コメント)

「$2$及び$5$を素因数にもたない」というポイントに着眼できれば簡単に解けてしまいます。この考え方が身に付いていれば分子と分母の和が$1000$でなくても解答できますね。

 

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