創作整数問題#4解法&創作整数問題#5

こんにちはpencilです。行く1月、逃げる2月、去る3月とは言いますが、今年の3月も残すところ1週間程となってしまいましたね。さて、前回の問題#4は数列の余りの周期性に気付くことができれば易問だったと思います。問題#5は(一応)ディオファントス方程式の問題にしてみました。楽しいですよ~(笑)


《問題#5》

$\dfrac{2^p+1}{p}$ が整数となるような素数 $p$ をすべて求めよ。

(創作問題)


これもあることに気付けば簡単です。京大辺りの入試問題と言っても通用しそうですね・・・。

これに似た有名問題として「マスターデーモン」という異名をもつ数学オリンピックの問題が知られていますが、これがレベル10だとすれば本問はレベル1か2くらいなものです。

 

 

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答えは $\color{red}{p=3}$ です。詳しい解答は後日。

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創作整数問題#4(解き方)


$a_n=2^n+n$、$b_n=4^n+n$ と置きます。$\text{mod} \ 3$ で考えると、$a_n$を$3$で割った余りは $0、0、2、2、1、1、\cdots$ と周期$6$で繰り返し、$b_n$を$3$で割った余りは $2、0、1、\cdots$ と周期$3$で繰り返すことが分かります。これより $a_n+b_n$ を$3$で割った余りは $2、0、0、1、1、2、\cdots$ と周期$6$で繰り返すことが分かります。よって$a_n$と$b_n$がともに$3$で割り切れないが $a_n+b_n$ は$3$で割り切れるような$n$は「$6$で割った余りが$3$となる正の整数」に限られるので、求める答えは$$n=6k-3 \ (k \in \mathbb{N})$$となります。


(コメント)

$2^n$や$4^n$など、指数数列をある自然数で割った余りは循環します。$n$をある自然数で割った余りも循環しますから、その和の余りも循環します。ただそれだけの問題ですので誘導設問を付けるまでも無いですね・・・。こういった数列の余りに関する問題は本問のような形式ではないにせよ、大学入試にもよく出題されています。数列の余りが循環することを知っていればそれに越したことはないのですが、ちょっと我慢して数項だけ書き出してみると思わぬヒントが得られることがあります。「自然数$n$」とかが出てくる問題では、答案を書き始める前や、解答に詰まってしまったときなどは、取り敢えず実験してみるという姿勢が大切です。

 

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