創作整数問題#56解法&創作整数問題#57

秋が深まってきましたね。

11月22日が「いい夫婦の日」として親しまれているからか、最近芸能人の結婚ラッシュが続いています。因みにこの「いい夫婦の日」という記念日は、余暇創研の前身である余暇開発センターが1988年に制定したそうです。


創作整数問題#57


《問題#57》

$n$を正の整数とする。$7$進法表示で$2$が$n$個並んだ整数 $222 \cdots 222_{(7)}$ を$s_n$とするとき、$s_n$を$10$進法表示すると下3桁が$000$となるような最小の$n$を求めよ。

(創作問題)


記数法絡みの整数問題です。

 

 

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答えは $n=\color{red}{20}$ です。

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創作整数問題#56(解き方)


$\dfrac{8x+4y+2}{x^2+6y^2+8}$が整数となるような整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。

分数式が整数となるためには分子の絶対値が分母の絶対値よりも大きくなることが必要です。その条件から候補を絞り込むこともできますが、今回は分数式を文字$k$と置いて調べることにします。

●   ●   ●

解答例

 

$k$を整数として$$\dfrac{8x+4y+2}{x^2+6y^2+8}=k$$と置くと、$$8x+4y+2=kx^2+6ky^2+8k \ \ \ \cdots (1)$$と変形できる。$k=0$ のとき$$8x+4y+2=0$$ $$\therefore 4x+2y+1=0$$となるが、これを$$4x=-(2y+1)$$と変形すると、$x$、$y$が整数のとき左辺は偶数、右辺は奇数となるので、この等式を満たすような整数$x$、$y$は存在しない。故に $k \ne 0$ である。

 

よって$(1)$式は$$\left(x^2-\dfrac{8}{k}x\right)+6\left(y^2-\dfrac{2}{3k}y\right)=\dfrac{2}{k}-8$$ $$\therefore \left(x-\dfrac{4}{k}\right)^2+6\left(y-\dfrac{1}{3k}\right)^2=\dfrac{-24k^2+6k+50}{3k^2}$$と式変形できる。これを満たす実数$x$、$y$が存在するためには右辺が$0$以上となることが必要であるから、$$-24k^2+6k+50 \geqq 0$$が必要である。これより$$\dfrac{3-\sqrt{1209}}{24} \leqq k \leqq \dfrac{3+\sqrt{1209}}{24}$$を得る。$\dfrac{3-\sqrt{1209}}{24}=-1.32…$、$\dfrac{3+\sqrt{1209}}{24}=1.57…$ であるから、$k=\pm 1$ の場合を考えればよい。

 

 

(i)$k=1$ のとき、$(1)$式は$$\therefore \left(x-4\right)^2+6\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{32}{3} \ \ \ \cdots (2)$$となる。これより少なくとも$$6\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{32}{3}$$が必要となるので、$y=-1,\,0,\,1$ に絞られる。

 

a)$y=-1$ のとき$(2)$式より、$$(x-4)^2=0$$ $$\therefore x=4$$よって $(x,y)=(4,-1)$ は求める解の一つである。

 

b)$y=0$ のとき$(2)$式より、$$(x-4)^2=10$$となるが、これを満たす整数$x$は存在しない。

 

c)$y=1$ のとき$(2)$式より、$$(x-4)^2=8$$となるが、これを満たす整数$x$は存在しない。

 

 

(ⅱ)$k=-1$ のとき、$(1)$式は$$\therefore \left(x+4\right)^2+6\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{20}{3} \ \ \ \cdots (3)$$となる。これより少なくとも$$6\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{20}{3}$$が必要となるので、$y=-1,\,0$ に絞られる。

 

a)$y=-1$ のとき$(3)$式より、$$(x+4)^2=4$$ $$\therefore x=-2,\,-6$$となる。これより $(x,y)=(-2,-1),(-6,-1)$ を得る。

 

b)$y=0$ のとき$(3)$式より、$$(x+4)^2=6$$となるが、これを満たす整数$x$は存在しない。

 

 

以上(i)、(ⅱ)より、求める整数解は$$(x,y)=\color{red}{(4,-1),(-2,-1),(-6,-1)}$$である。


(コメント)

解の候補の絞り込みに関して、解答例のように実数条件に持ち込んでも良いですし、「分子の大きさ≧分母の大きさ」を考えて$$|8x+4y+2| \geqq |x^2+6y^2+8|$$という不等式を用いても良いと思います。


 

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