2ヶ月近くほったらかしにしてしまいました。久々の更新です。
創作整数問題#60
《問題#60》
平方数とは、ある整数の二乗として表される数である。
（１）正の整数 $n$、$m$ の組に対して $n^{m+1}+m^{n+1}$ が平方数となるとき、$n$、$m$ の少なくとも１つは偶数であることを示せ。
（２）$p^{q+1}+q^{p+1}$ が平方数となるような素数$p$、$q$の組をすべて求めよ。
（創作問題）
誘導を利用すればさほど煩雑ではないはずです。誘導をカットすれば入試に出題されても良いレベルの整数問題だと思います。
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答えは $(p,\,q)=\color{red}{(2,\,2)}$ です。
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創作整数問題#59（解き方）
| $p^2+59$ の正の約数が$10$個より少ないような素数$p$をすべて求めよ。 |
$p$がどのような素数となるかによって与式の約数の個数を評価します。
● ● ●
解答例
$p=2$ のとき$$p^2+59=63=7 \cdot 3^2$$となり約数の個数は$6$個である。
$p=3$ のとき$$p^2+59=68=2^2 \cdot 17$$となり約数の個数は$6$個である。
$p \geqq 5$ のとき、素数$p$はある整数$m$を用いて$$p=6m\pm1$$と置ける。これより、$$\begin{align}p^2+59 &=(6m\pm1)^2+59 \\ &=36 m^2 \pm 12 m + 60 \\ &=2^2 \cdot 3 \cdot (3m^2 \pm m + 5) \end{align}$$となるので $3m^2 \pm m + 5=1$ でない限り、約数の個数は $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ 個より多くなる。しかし方程式$$3m^2 \pm m + 5=1$$を満たすような整数$m$は存在しない。よって $p \geqq 5$ のときは条件を満たさない。
以上より、求める素数$p$は$$p=\color{red}{2,\ 3}$$である。
（コメント）
$5$以上の素数は$$p=6m\pm1$$という形で表せるというのが問題#59のポイントでした。具体的な式を用いることで解の候補が絞り込めることがあります。是非覚えておきたい視点ですね。問題#B018も是非参考にして下さい。