創作整数問題#78解法&創作整数問題#79

新生活にはもう慣れたでしょうか? 個人的な話ですが、今年は「ヤマザキ春のパンまつり」の景品のお皿が2枚集められそうです🌸。昨年Twitter上で「コロナでも中止にならない祭り」として話題になった春のパンまつりですが、実は今年で40周年を迎える歴史あるお祭りなのです。確かに個人的にも、新生活の時期と言えばパンまつり、というイメージがありますが、息の長いキャンペーンだからこそ自然に染みついた感覚なのかもしれませんね。ちょっとした小話でした。


創作整数問題#79


《問題#79》

各位の数の和が$79$で、かつ$79$で割り切れるような正の整数のうち最小のものを求めよ。

(創作問題)


各位の数の並び方で場合を分けて調べます。小さい方から絞り込んでいきましょう。

 

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答えは $\color{red}{999899998}$ です。

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創作整数問題#78(解き方)


等式$$\dfrac{5}{78}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$$を満たす正の整数組$(a,b)$をすべて求めよ。


$a$と$b$の最大公約数を$d$などと置いて議論します。

解答例

 

与式の対称性を利用して、まず $a \leqq b$ として考える。

 

与式を整理すると$$5ab=78(a+b)$$となる。ここで$d$を整数$a$、$b$の最大公約数とし、互いに素な正の整数$A$、$B$($A \leqq B$)を用いて $a=Ad$、$b=Bd$ と置く。これを代入して$$5ABd^{2}=78(Ad+Bd)$$ $$\therefore \quad 5ABd=78(A+B) \quad \cdots(*)$$を得る。

 

ここで$AB$と$A+B$は互いに素だから$AB$は$78$の約数でなければならない。また、$(*)$の左辺は$5$の倍数であるから$A+B$は$5$の倍数でなければならない。そこで$78$の約数であるような積$AB$で$A+B$が$5$の倍数となるものを探す。$$A+B \equiv 0 \pmod{5}$$より、$B \equiv -A \pmod{5}$ が必要となるから、$$\therefore A B \equiv -A^{2} \equiv 0,\,1,\,4 \pmod{5}$$となる。ここで$78$の約数は$1,\,$$2,\,$$3,\,$$6,\,$$13,\,$$26,\,$$39,\,$$78$であり、このうち$5$で割った余りが$0,\,$$1,\,$$4$であるものは$$1,\,6,\,26,\,39$$に限られるが、$AB=1$ のとき $A=B=1$ となり$A+B$は$5$の倍数にならず不適。よって、$$AB=6,\,26,\,39$$である。

 

ア)$AB=6$ のとき $(A, B)=(2,3)$ より、$d=13$ であり$$(a,b)=(26,39)$$を得る。

 

イ)$AB=26$ のとき $(A, B)=(2,13)$ より、$d=9$ であり$$(a,b)=(18,117)$$を得る。

 

ウ)$AB=39$ のとき $(A, B)=(1,39)$ より、$d=16$ であり$$(a,b)=(16,624)$$を得る。

 

以上の結果より、$a$、$b$の大小関係を廃して$$\color{red}{\begin{aligned} (a,b)=\,&(16,624),(18,117),(26,39), \\ & (39,26),(117,18),(624,16) \end{aligned}}$$の計6組の解を得る。

 


 

本問はエジプト分数に関連する整数問題です。任意の有理数は分子が$1$であるような複数の分数の和として表現できることが知られています。$\dfrac{5}{78}$を分子が$1$であるような2つの分数の和として表せ、というのが問題#78の主眼です。エジプト分数については前回の記事「エジプト分数表示について」を参照して下さい。

与式を変形すると不定方程式$$5ab-78a-78b=0$$を得ます。この整数解の数は$13$で、そのうち正の整数解は解答例で示した$6$組だけです。すべての整数解を求めるためには与式を$$ab-\dfrac{78}{5}a-\dfrac{78}{5}b=0$$ $$\therefore \left(a-\dfrac{78}{5}\right)\left(b-\dfrac{78}{5}\right)=\dfrac{78^2}{5^2}$$ $$\therefore (5a-78)(5b-78)=78^2$$と因数分解して解くのが良いでしょう。本問はこのように式変形しても解答可能です。

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