創作整数問題#79解法&創作整数問題#80

いよいよ日本でもワクチン接種が本格化してきましたね。まだまだ気が抜けない状況ですがトンネルの出口が見え始めています。早くマスク生活とおさらばしたいです(笑)


創作整数問題#80


《問題#80》

小学生の太郎くんは、$4$歳の妹と両親と祖父母の$6$人家族で暮らしています。太郎くんのお父さんはお母さんより$5$歳だけ年上で、お爺ちゃんとお婆ちゃんの年齢は同じです。いま、家族全員の年齢を合計すると$231$歳でした。

それからちょうど数年が経った$2021$年、太郎くんの年齢は$2$倍になり、お爺ちゃんとお婆ちゃんは$80$歳になりました。また、太郎君の年齢にある整数を掛けるとお父さんの年齢になり、妹の年齢に別のある整数を掛けてもお父さんの年齢になりました。

このとき、$2021$年時点における太郎くんの年齢を求めてください。ただし、年齢は全く同じ日に計算しているものとします。

(創作問題)


単なる計算問題に見えるかもしれませんが、一応、整数問題的な要素は含めています。太郎くんの妹の年齢を未知数にするとパターンが多くなりすぎるので定数にしました。

 

» 答えはこちら

答えは $16$歳 です。元々の年齢構成は以下の通りです。

妹$4$歳、太郎$8$歳、母$35$歳、父$40$歳、祖父母$72$歳

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創作整数問題#79(解き方)


各位の数の和が$79$で、かつ$79$で割り切れるような正の整数のうち最小のものを求めよ。


表を書いて整理して、可能性のあるパターンを調べるだけの問題です。

解答例

 

すべての位の数が$9$であるような$8$桁の数、および$9$桁の数の各位の数の和はそれぞれ$72$、$81$であるから、各位の数の和が$79$であるような正の整数は少なくとも$9$桁以上の数である。

 

したがって、まずは$9$桁の整数のうち、各位の数の和が$79$で、かつ$79$で割り切れるようなものを探す。ここで、各位の数の和が$79$であるような$9$桁の整数は

①$9$が$8$個、$7$が$1$個並ぶ

②$9$が$7$個、$8$が$2$個並ぶ

のいずれかの場合に限られる。

 

$10^{n}$および$2 \times 10^{n}$を$79$で割った余りを調べると以下のようになる。$$\small \begin{array}{l} \begin{array}{c|cccccccccccc}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline 10^{n} & 1 & 10 & 21 & 5 & 46 & 65 & 18 \\
2 \times 10^{n} & 2 & 20 & 42 & 25 & 13 & 51 & 36
\end{array} \\ \begin{array}{c|cccccccccccc}
n & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
\hline 10^{n} & 22 & 62 & 67 & 38 & 64 & 8 & 1 \\
2 \times 10^{n} & 44 & 45 & 55 & 76 & 19 & 16 & 2 \end{array}
\end{array}$$以下、求める整数を$N$と表す。

 

ア)①のとき、 整数$m$($m=1,2, \cdots ,9$)を用いて$$N=\underbrace{999999999}_{9\text{ケタ}}-2 \times 10^{m-1}$$と表せる。$999999999$を$79$で割った余りは$66$となるが、上の表より、$$2 \times 10^{m-1} \equiv 66 \pmod{79}$$となるような整数$m$は存在しない。

 

イ)②のとき、 $k>l$ を満たす整数$k$、$l$($k,\,l=1,2, \cdots ,9$)を用いて$$N=\underbrace{999999999}_{9\text{ケタ}}-\left(10^{k-1}+10^{l-1}\right)$$と表せる。上の表より、$k=6$、$l=1$ のとき$$10^{5}+10^0 \equiv 66 \pmod{79}$$となる。また、これ以外に$N$が$79$で割り切れるような整数$k$、$l$の組は存在しない。

 

以上より、各位の数の和が$79$で、かつ$79$で割り切れるような正の整数のうち最小のものは$$\color{red}{999899998}$$である。

 


 

各位の数に関する問題は、まず桁数に制限が無いか調べるところから始めましょう。本問では「最小の」とあるだけで桁数に関するヒントが無いので、取り敢えず桁の小さい方からシラミ潰しに調べていく、という方針を取っています。もし$9$桁の場合分けで見つからなければ、次は$10$桁の整数を考えていくだけです。

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