創作整数問題#86解法&創作整数問題#87

「往く1月」の通り、この1ヶ月はあっという間だったように感じます。

年始以降、感染拡大の第6波が押し寄せており、全国各地で日次感染者数が過去最多を続々と更新しています。今年中に特効薬が行き渡るようになれば少しは状況が変わるものと信じ、今は大人しくしているのが吉でしょう。

今年こそは海外旅行にでも行きたいと思っているのですが、パンデミックの発生から2年近く経過した今もなお、世界的に収束の見通しは立っていません。パスポートの残存有効期間が勿体ないです…。


創作整数問題#87


《問題#87》

(1)$k$を正の奇数とする。方程式$$k^4 x-2^4 y=1 \quad \cdots ①$$を満たすような整数組$(x,y)$について、$x$の値は適当な整数$n$を用いて $x=16n+1$ で与えられることを示し、さらに$y$の値を$k$と$n$の式で表せ。

(2)前問の結果を利用して、方程式$$87^4 x-2^4 y=1 \quad \cdots ②$$を満たす正の整数組$(x,y)$のうち、$y$の値が最小となる組を求めよ。

(3)$k$を正の奇数とする。正の整数組$(X,Y)$は方程式$$k^5 X-2^5 Y=1 \quad \cdots ③$$を満たしている。このとき、$k^5 X-k^8$ は$2^5$で割り切れることを示せ。

(4)正の整数組$(X,Y)$は方程式$$87^5 X-2^5 Y=1 \quad \cdots ④$$を満たしている。このとき、$X$の最小値を求めよ。

(創作問題)


はて、どこかで見たことのあるような問題にも見えますが…(笑)

 

 

» 答えはこちら

今年(2022年)の共通テスト数学ⅠAの整数問題のミソは剰余計算が巨大な解の導出に利用できるという点でした。この問題を一般の奇数に拡張したのが本問です。因数分解してしまえば(3)の計算は意外とラクに済みます。

(1)$y=k^4 n+\dfrac{1}{16}(k^2+1)(k+1)(k-1)$
(2)$(x,y)=(1,\,3580610)$
(4)$X=7$

(4)は頑張るしかありませんが$Y$の値までは要求していないので、$X=7$ を与えるような$Y$が存在することを証明できればOKです。なお、(3)の方程式③の解$y$は$k$の8次式で表せるので、$k$を大きくすると爆発的に巨大な値となります。

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創作整数問題#86(解き方)


平方数とは、ある整数の二乗として表される数のことである。

(1)$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$a_{4}$、$b_{1}$、$b_{2}$、$b_{3}$、$b_{4}$を整数とし、$A=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}a_{i}^{2}$、$B=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}b_{i}^{2}$ とする。このとき積$AB$もまた$4$個の平方数の和として表せることを示せ。つまり等式$$\begin{aligned}AB=&\,(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4})^{2} \\ & \quad +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\ & \quad \quad +(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\ & \quad \quad \quad +(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1})^{2}\end{aligned}$$が恒等的に成り立つことを示せ。

(2)$2022$を$4$個の平方数の和として表せ。ただし平方数の組は$1$組のみ与えれば良い。

(3)$173892$を$4$個の平方数の和として表せ。ただし平方数の組は$1$組のみ与えれば良い。


本問は単なる計算問題です。(2)で$2022$の4平方和表示をいきなり求めるのが難しければ積の形に直してから(1)の恒等式を用います。(3)は(2)で求めた組と(1)の恒等式を用いて与えられます。

解答例

 

(1)

$$t_1=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}$$ $$t_2=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}$$ $$t_3=a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}$$ $$t_4=a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1}$$と置くと、$$\small\begin{aligned}&t_1^2=a_{1}^{2}b_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+2a_{1}a_{3}b_{1}b_{3}+2a_{1}a_{4}b_{1}b_{4}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}\\&\quad\quad+2a_{2}a_{3}b_{2}b_{3}+2a_{2}a_{4}b_{2}b_{4}+a_{3}^{2}b_{3}^{2}+2a_{3}a_{4}b_{3}b_{4}+a_{4}^{2}b_{4}^{2}\end{aligned}$$ $$\small\begin{aligned}&t_2^2=a_{1}^{2}b_{2}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+2a_{1}a_{3}b_{2}b_{4}-2a_{1}a_{4}b_{2}b_{3}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}\\&\quad\quad-2a_{2}a_{3}b_{1}b_{4}+2a_{2}a_{4}b_{1}b_{3}+a_{3}^{2}b_{4}^{2}-2a_{3}a_{4}b_{3}b_{4}+a_{4}^{2}b_{3}^{2}\end{aligned}$$ $$\small\begin{aligned}&t_3^2=a_{1}^{2}b_{3}^{2}-2a_{1}a_{2}b_{3}b_{4}-2a_{1}a_{3}b_{1}b_{3}+2a_{1}a_{4}b_{2}b_{3}+a_{2}^{2}b_{4}^{2}\\&\quad\quad+2a_{2}a_{3}b_{1}b_{4}-2a_{2}a_{4}b_{2}b_{4}+a_{3}^{2}b_{1}^{2}-2a_{3}a_{4}b_{1}b_{2}+a_{4}^{2}b_{2}^{2}\end{aligned}$$ $$\small\begin{aligned}&t_4^2=a_{1}^{2}b_{4}^{2}+2a_{1}a_{2}b_{3}b_{4}-2a_{1}a_{3}b_{2}b_{4}-2a_{1}a_{4}b_{1}b_{4}+a_{2}^{2}b_{3}^{2}\\&\quad\quad-2a_{2}a_{3}b_{2}b_{3}-2a_{2}a_{4}b_{1}b_{3}+a_{3}^{2}b_{2}^{2}+2a_{3}a_{4}b_{1}b_{2}+a_{4}^{2}b_{1}^{2}\end{aligned}$$ と展開されるので、$t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2$を計算すると$$\small\begin{aligned}&a_{1}^{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{1}^{2}b_{3}^{2}+a_{1}^{2}b_{4}^{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}+a_{2}^{2}b_{3}^{2}+a_{2}^{2}b_{4}^{2}\\&+a_{3}^{2}b_{1}^{2}+a_{3}^{2}b_{2}^{2}+a_{3}^{2}b_{3}^{2}+a_{3}^{2}b_{4}^{2}+a_{4}^{2}b_{1}^{2}+a_{4}^{2}b_{2}^{2}+a_{4}^{2}b_{3}^{2}+a_{4}^{2}b_{4}^{2}\end{aligned}$$となる。これは積$AB$を展開して得られる式に一致するから、与等式は恒等的に成立していることが示された。

 

 

(2)

$2022=6 \times 337$ という積の形に変形できることに着目すると、$$\begin{aligned}
6&=2^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2} \\
337&=18^{2}+3^{2}+2^{2}+0^{2}
\end{aligned}$$および、(1)の恒等式より、$$\begin{aligned}
2022 &=\left(2^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\right)\left(18^{2}+3^{2}+2^{2}+0^{2}\right) \\
&=(36+3+2+0)^{2}+(6-18+0-0)^{2} \\
& \quad +(4-0-18+0)^{2}+(0+2-3-0)^{2} \\
&=\color{red}{41^{2}+12^{2}+14^{2}+1^{2}}
\end{aligned}$$と4個の平方数の和として表せる。

 

 

(3)

$173892=2022 \times 86$ という積の形に変形できることに着目する。ここで$$86=6^2 + 5^2 + 5^2 + 0^2$$と表せるから、(1)の恒等式と(2)の結果を用いて$$\begin{aligned} 173892 &=(41^{2}+12^{2}+14^{2}+1^{2})(6^2 + 5^2 + 5^2 + 0^2) \\ &=(246+60+70+0)^{2}+(205-72+0-5)^{2} \\
& \quad +(205-0-84+5)^{2}+(0+60-70-6)^{2} \\
&=\color{red}{376^2+128^2+126^2+16^2} \end{aligned}$$を得る。

 


 

全ての自然数は高々4個の平方数の和で表される」という事実は「ラグランジュの四平方定理」として知られています(「高々」とあるのは$0^2$も許容しているためです)。(1)で示した恒等式には「オイラーの四平方恒等式」という名前が付いており、ラグランジュの四平方定理はこの恒等式を用いて証明されます。

余談ですが、実は$86$は $6^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2$ という4つの隣接する平方数の和で与えられます(本問はこの性質に着想を得ました)。ただし、オイラーの四平方恒等式を利用するにあたっては、ゼロを含む $6^2 + 5^2 + 5^2 + 0^2$ を使う方がラクに計算できますね。

なお、$86$の4平方和表示は$5$通り、$2022$の4平方和表示は$97$通り、$173892$の4平方和表示は$3857$通りだけ存在します。以下に$86$と$2022$の4平方和表示を列挙しておきます。

» 4平方和表示一覧

(86の4平方和表示)

6^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2
6^2 + 5^2 + 5^2 + 0^2
7^2 + 6^2 + 1^2 + 0^2
8^2 + 3^2 + 3^2 + 2^2
9^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2

(2022の4平方和表示)

25^2 + 25^2 + 24^2 + 14^2
27^2 + 26^2 + 19^2 + 16^2
28^2 + 23^2 + 22^2 + 15^2
28^2 + 25^2 + 18^2 + 17^2
28^2 + 26^2 + 21^2 + 11^2
28^2 + 27^2 + 22^2 + 5^2
29^2 + 22^2 + 21^2 + 16^2
29^2 + 24^2 + 22^2 + 11^2
29^2 + 26^2 + 19^2 + 12^2
29^2 + 26^2 + 21^2 + 8^2
29^2 + 27^2 + 16^2 + 14^2
29^2 + 28^2 + 19^2 + 6^2
29^2 + 29^2 + 14^2 + 12^2
29^2 + 29^2 + 18^2 + 4^2
30^2 + 20^2 + 19^2 + 19^2
30^2 + 23^2 + 23^2 + 8^2
30^2 + 28^2 + 13^2 + 13^2
30^2 + 28^2 + 17^2 + 7^2
30^2 + 29^2 + 16^2 + 5^2
31^2 + 24^2 + 17^2 + 14^2
31^2 + 24^2 + 22^2 + 1^2
31^2 + 25^2 + 20^2 + 6^2
31^2 + 28^2 + 14^2 + 9^2
31^2 + 31^2 + 8^2 + 6^2
31^2 + 31^2 + 10^2 + 0^2
32^2 + 21^2 + 19^2 + 14^2
32^2 + 22^2 + 17^2 + 15^2
32^2 + 25^2 + 18^2 + 7^2
32^2 + 27^2 + 13^2 + 10^2
32^2 + 29^2 + 11^2 + 6^2
32^2 + 30^2 + 7^2 + 7^2
32^2 + 31^2 + 6^2 + 1^2
33^2 + 22^2 + 20^2 + 7^2
33^2 + 23^2 + 20^2 + 2^2
33^2 + 26^2 + 16^2 + 1^2
33^2 + 28^2 + 10^2 + 7^2
34^2 + 19^2 + 19^2 + 12^2
34^2 + 21^2 + 16^2 + 13^2
34^2 + 21^2 + 19^2 + 8^2
34^2 + 21^2 + 20^2 + 5^2
34^2 + 23^2 + 16^2 + 9^2
34^2 + 24^2 + 13^2 + 11^2
34^2 + 24^2 + 17^2 + 1^2
34^2 + 25^2 + 15^2 + 4^2
34^2 + 27^2 + 11^2 + 4^2
34^2 + 28^2 + 9^2 + 1^2
34^2 + 29^2 + 4^2 + 3^2
34^2 + 29^2 + 5^2 + 0^2
35^2 + 20^2 + 19^2 + 6^2
35^2 + 21^2 + 16^2 + 10^2
35^2 + 22^2 + 13^2 + 12^2
35^2 + 24^2 + 11^2 + 10^2
35^2 + 24^2 + 14^2 + 5^2
35^2 + 26^2 + 11^2 + 0^2
35^2 + 27^2 + 8^2 + 2^2
35^2 + 28^2 + 3^2 + 2^2
36^2 + 19^2 + 14^2 + 13^2
36^2 + 19^2 + 19^2 + 2^2
36^2 + 22^2 + 11^2 + 11^2
36^2 + 23^2 + 14^2 + 1^2
36^2 + 25^2 + 10^2 + 1^2
36^2 + 26^2 + 5^2 + 5^2
36^2 + 26^2 + 7^2 + 1^2
37^2 + 19^2 + 16^2 + 6^2
37^2 + 21^2 + 14^2 + 4^2
37^2 + 22^2 + 12^2 + 5^2
37^2 + 22^2 + 13^2 + 0^2
38^2 + 17^2 + 15^2 + 8^2
38^2 + 17^2 + 17^2 + 0^2
38^2 + 20^2 + 13^2 + 3^2
38^2 + 21^2 + 11^2 + 4^2
38^2 + 23^2 + 7^2 + 0^2
38^2 + 24^2 + 1^2 + 1^2
39^2 + 16^2 + 14^2 + 7^2
39^2 + 17^2 + 14^2 + 4^2
39^2 + 20^2 + 10^2 + 1^2
39^2 + 22^2 + 4^2 + 1^2
40^2 + 15^2 + 14^2 + 1^2
40^2 + 18^2 + 7^2 + 7^2
40^2 + 19^2 + 6^2 + 5^2
41^2 + 14^2 + 9^2 + 8^2
41^2 + 14^2 + 12^2 + 1^2
41^2 + 15^2 + 10^2 + 4^2
41^2 + 16^2 + 7^2 + 6^2
41^2 + 16^2 + 9^2 + 2^2
41^2 + 17^2 + 6^2 + 4^2
41^2 + 18^2 + 4^2 + 1^2
42^2 + 11^2 + 11^2 + 4^2
42^2 + 13^2 + 8^2 + 5^2
42^2 + 16^2 + 1^2 + 1^2
43^2 + 10^2 + 8^2 + 3^2
43^2 + 11^2 + 6^2 + 4^2
43^2 + 12^2 + 5^2 + 2^2
43^2 + 13^2 + 2^2 + 0^2
44^2 + 6^2 + 5^2 + 5^2
44^2 + 7^2 + 6^2 + 1^2
44^2 + 9^2 + 2^2 + 1^2

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