半径1の球に内接する正四面体（北海道大学2005年前期数学文理共通）

解答例①

半径$1$の球に内接する正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さを$a$、点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$、球の中心を$\mathrm{O}$とする。

点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{BCD}$の外心であるから正弦定理より$$2\mathrm{BH} = \dfrac{a}{\sin 60^{\circ}}$$ $$\therefore \mathrm{BH} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$となる。

$\triangle \mathrm{ABH}$について三平方の定理から$$\begin{align}
\mathrm{AH} &=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BH}^{2}} \\
&=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}} \\ &=\frac{\sqrt{6}}{3} a
\end{align}$$と表せる。

同様に、$\triangle \mathrm{OBH}$について三平方の定理から$$\mathrm{BH}^{2}+\mathrm{OH}^{2}=1^{2}$$ $$\therefore \left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3} a-1\right)^{2}=1$$ $$\therefore a^{2}-\frac{2\sqrt{6}}{3} a=0$$ $$\therefore a=\frac{2\sqrt{6}}{3}\quad (\because a>0)$$を得る。

故に、半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さは$$\color{red}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$$である。

解答例②

半径$1$の球に内接する正四面体は、半径$1$の球に内接する立方体から図のように切り出すことができる。

図の網掛け部分の断面に注目すると、この立方体の体対角線の長さは大円の直径に等しく、$2$であることが言える。立方体の体対角線と側面の対角線の長さの比は $\sqrt{3}:\sqrt{2}$ だから、半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さは$$2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} =\color{red}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$$と求められる。