半径1の球に内接する正四面体(北海道大学2005年前期数学文理共通)

北海道大学の入試問題から、半径1の球に内接する正四面体の辺の長さに関する問題を紹介します。球に内接する立体は空間図形の頻出問題です。確実に解けるように対策しておきたいですね。


《問題》

半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さを求めよ.

(北海道大学2005年 前期/文系第4問/理系第5問)


《考え方》

非常にシンプルな問題です。垂線を下ろして考えるのが定石ですが、立方体に埋め込む別解も考えられます。


解答例①

半径$1$の球に内接する正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さを$a$、点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$、球の中心を$\mathrm{O}$とする。

 

点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{BCD}$の外心であるから正弦定理より$$2\mathrm{BH} = \dfrac{a}{\sin 60^{\circ}}$$ $$\therefore \mathrm{BH} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$となる。

 

$\triangle \mathrm{ABH}$について三平方の定理から$$\begin{align}
\mathrm{AH} &=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BH}^{2}} \\
&=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}} \\ &=\frac{\sqrt{6}}{3} a
\end{align}$$と表せる。

 

同様に、$\triangle \mathrm{OBH}$について三平方の定理から$$\mathrm{BH}^{2}+\mathrm{OH}^{2}=1^{2}$$ $$\therefore \left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3} a-1\right)^{2}=1$$ $$\therefore a^{2}-\frac{2\sqrt{6}}{3} a=0$$ $$\therefore a=\frac{2\sqrt{6}}{3}\quad (\because a>0)$$を得る。

 

故に、半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さは$$\color{red}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$$である。

 

以上の解答は教科書的というか、正統な解き方と言える方法ですね。

一方で立方体への埋め込みを考えるともう少し楽に求められます。


解答例②

半径$1$の球に内接する正四面体は、半径$1$の球に内接する立方体から図のように切り出すことができる。

 

図の網掛け部分の断面に注目すると、この立方体の体対角線の長さは大円の直径に等しく、$2$であることが言える。立方体の体対角線と側面の対角線の長さの比は $\sqrt{3}:\sqrt{2}$ だから、半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さは$$2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} =\color{red}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$$と求められる。

 

こちらの解答は初めて見る人にとっては手品のように見えるようで、紹介するときはつい楽しくなってしまいます(笑)。


(コメント)

解答例①の方法はしっかりマスターできている必要があります。一方で多面体の埋め込みを利用した解答例②の解法も非常に有効なので覚えておくと便利です。

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