東京大学2019年理系数学第4問

今年も国公立大の二次試験(1日目)が無事終了しました。今回は東京大学の整数問題をピックアップします。


《問題》

$n$を$1$以上の整数とする。

(1)$n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数$d_n$を求めよ。

(2)$(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の$2$乗にならないことを示せ。

(東京大学2019年理系 第4問)


《考え方》

(1)

ユークリッドの互除法で片付きます。

(1)解答例$$(5n^2+9)-5(n^2+1)=4$$ より、最大公約数$d_n$は $n^2+1$ と$4$の最大公約数に等しい。

 

ここで$n$を奇数とすると適当な整数$k$を用いて $n=2k+1$ と表せるから、
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ n^2+1 \\ &= (2k+1)^2+1 \\ &=4(k^2+1)+2 \end{align}$$となる。これと$4$の最大公約数は$2$である。

 

また、$n$を偶数とすると適当な整数$k$を用いて $n=2k$ と表せるから、
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ n^2+1 \\ &= (2k)^2+1 \\ &=4k^2+1 \end{align}$$となる。これと$4$の最大公約数は$1$である。

 

以上より、

$n$が奇数のとき $d_n=2$
$n$が偶数のとき $d_n=1$

と求められる。

 

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本題は(2)です。(1)の誘導を利用しましょう。

(2)解答例$$N=(n^2+1)(5n^2+9)$$とおく。

 

(1)より、$n$が偶数のとき $n^2+1$ と $5n^2+9$ は互いに素であるから、$N$が整数の$2$乗になることと、$n^2+1$ と $5n^2+9$ がともに整数の$2$乗になることは同値であるが、$$n^2<n^2+1<(n+1)^2$$より、$n^2+1$ は整数の$2$乗でない。

 

よって$n$が偶数のとき、$N$は整数の$2$乗にならない。

 

また、$n$が奇数のとき、適当な整数$k$を用いて $n=2k+1$ と表せるから、
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ n^2+1 \\ &= (2k+1)^2+1 \\ &=2(2k^2+2k+1) \end{align}$$および、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ 5n^2+9 \\ &= 5(2k+1)^2+9 \\ &=2(10k^2+10k+7) \end{align}$$となる。(1)より、$n$が奇数のとき $d_n=2$ であるから、$2k^2+2k+1$ と $10k^2+10k+7$ は互いに素である。これより$N$が整数の$2$乗になることと、$2k^2+2k+1$ と $10k^2+10k+7$ がともに整数の$2$乗になることは同値である。(※)

 

ここで、$$\begin{align} & \ \ \ \ \ 10k^2+10k+7 \\ &=4 \left\{ \dfrac{5}{2}k(k+1)+1 \right\}+3 \end{align}$$より、$\dfrac{5}{2}k(k+1)$が整数であることに注意すると、$10k^2+10k+7$ を$4$で割った余りは任意の$n$に対して$3$となるが、$4$で割った余りが$3$であるような平方数は存在しないから、$10k^2+10k+7$ は整数の$2$乗にならない。

 

よって$n$が奇数のとき、$N$は整数の$2$乗にならない。

 

 

以上より、$(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の$2$乗にならないことが示された。

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(2)の(※)以降は $10k^2+10k+7$ を $\text{mod}\,5$ で考えても良さそうです。


(コメント)

本問はオーソドックスな整数問題です。今年のセットでは落としたくない問題の一つですね。

「$4$で割った余りが$3$であるような平方数は存在しない」ということは答案の中で証明しておくのが好ましいでしょう。それほど手間ではないと思います。

$\text{mod}\,5$ で考えても良いという点についてですが、この辺りの事情は整数第3章第1節の問題#B005で扱っていますので、併せてご覧下さい!

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あちらこちらから今年の東大数学は難化した、という話が聞こえてきていますが、難化というよりは傾向が変わったと言うべきかもしれません。テイストはマイルドながらも、東大らしい趣向は残っています。確率分野が2年連続で出題されないというのは近年では珍しいですが、90年代後半にも確率分野が数年連続で出題されないという時期がありました。

東大は昔から行列が頻繫に出題されていましたが、新課程移行後からは複素平面が幅を利かせてきており、今年はさらにパワーアップしました。この傾向は今後も変わらなさそうです。

第3問では久々に正八面体が登場しましたね。第1問の定積分計算問題には何か背景がありそうです・・・。

明日以降は他の大学の問題も漁ってみます(笑)。



 

 

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