正方形に接する楕円(金沢大学2018年)

正方形に接する楕円を題材にした問題です。面積の最大最小に関する内容と併せてよく出題されるタイプの問題ですね。


《問題》

$a$、$b$、$c$ を正の数とする。楕円$C$:$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ が、4点$(c,0)$、$(0,c)$、$(-c,0)$、$(0,-c)$を頂点とする正方形の各辺に接しているとする。4つの接点を頂点とする四角形の面積を$S$、楕円$C$で囲まれる図形の面積を$T$とする。このとき、不等式$$\dfrac{S}{T} \leqq \dfrac{2}{\pi}$$が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

(金沢大学2018年 前期理系第3問)


《考え方》

楕円の一般式と直線の方程式から判別式を用いて接する条件を導きます。最大値を求める際は相加・相乗平均の不等関係を用いるのが簡単です。

●   ●   ●

解答例

 

楕円$C$と直線$l$:$y=-x+c$ の接点を$\rm{A}$と置く。$$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(-x+c)^{2}}{b^{2}}=1$$ $$\therefore b^{2} x^{2}+a^{2}(-x+c)^{2}=a^{2} b^{2}$$ $$\small \therefore \left(a^{2}+b^{2}\right) x^{2}-2 a^{2} c x+\left(a^{2} c^{2}-a^{2} b^{2}\right)=0 \quad \cdots ①$$この判別式を$D$と置くと、$$\small \begin{align} \dfrac{D}{4} &=\left(-a^{2} c\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{2} c^{2}-a^{2} b^{2}\right) \\ &=a^{4} b^{2}-a^{2} b^{2} c^{2}+a^{2} b^{4} \end{align}$$となる。楕円$C$と直線$l$は接するから、判別式について $D=0$ が成り立つから、$$a^{4} b^{2}-a^{2} b^{2} c^{2}+a^{2} b^{4}=0$$となり、この両辺を$a^{2} b^{2}\,(\ne 0)$で割って$$a^{2}-c^{2}+b^{2}=0$$ $$c^{2}=a^{2}+b^{2} \small{\quad \cdots ②}$$を得る。①を$x$について解くと、$$x=\frac{a^{2} c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2} c}{c^{2}}=\frac{a^{2}}{c}$$ $y=-x+c$ に代入して$$y=-\frac{a^{2}}{c}+c$$よって接点$\rm{A}$の座標は$\left(\dfrac{a^{2}}{c},-\dfrac{a^{2}}{c}+c\right)$と求められる。

 

ここで②より、$$\begin{aligned} S &=4 \cdot \frac{a^{2}}{c} \cdot\left(-\frac{a^{2}}{c}+c\right) \\ &=\frac{4 a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)}{c^{2}} \\ &=\frac{4 a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \end{aligned}$$となり、$$\begin{aligned} T & =4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\pi a b \end{aligned}$$と求められる(定積分の値は半径$a$の四分円の面積に等しくなる)。$$\begin{aligned}
\frac{S}{T} &=\dfrac{\dfrac{4 a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{\pi a b} \\
&=\dfrac{4 a b}{\pi\left(a^{2}+b^{2}\right)} \\
&=\dfrac{4}{\pi\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)} \\
& \leq \dfrac{4}{\pi \cdot 2 \sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}}}=\dfrac{2}{\pi}
\end{aligned}$$この等号は $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}$ のときに成立する。よって②より、求める等号成立条件は $a=b=\dfrac{c}{\sqrt{2}}$ のときである。


(コメント)

相加・相乗平均の不等関係の利用を思い付くとラクに解答できます。$\dfrac{4 a b}{\pi\left(a^{2}+b^{2}\right)}$ において分子と分母を$b^2\,(\ne 0)$で割って $t=\dfrac{a}{b}$ などと置けば $f(t)=\dfrac{4t}{\pi\left(t^2+1\right)}$ として微分しても解答可能です。ここで相加・相乗平均の不等関係が利用できることに気が付ければ微分しなくても済みます。



 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です