複素数の冪に関する整数問題(2021年神戸大学前期理系数学第1問)

よくあるタイプの複素数と整数の融合問題です。文系数学では数字がアレンジされているものの、ほぼ同様の出題がありました。


 

$i$を虚数単位とする。以下の問に答えよ。

(1)$n=2,\,3,\,4,\,5$ のとき $(2+i)^n$を求めよ。またそれらの虚部の整数を$10$で割った余りを求めよ。

(2)$n$を正の整数とするとき $(2+i)^n$は虚数であることを示せ。

(2021年神戸大学 前期理系第1問)

 

 考え方

シンプルな問題です。$(2+i)^n$の虚部の整数を$10$で割った余りは周期的に繰り返しています。このことから虚部がゼロにならないことを言えれば、$(2+i)^n$は虚数であることが示されます。


解答例

 

(1)

$$\begin{aligned}
(2+i)^{2} &=4+4 i+i^{2} \\ &=\color{red}{3+4 i} \\
(2+i)^{3} &=8+12 i+6 i^{2}+i^{3} \\ &=\color{red}{2+11 i} \\
(2+i)^{4} &=(3+4 i)^{2} \\ &=9+24 i+16 i^{2} \\ &=\color{red}{-7+24 i} \\
(2+i)^{5} &=(3+4 i)(2+11 i) \\ &=6+41 i+44 i^{2} \\ &=\color{red}{-38+41 i}
\end{aligned}$$これらの虚部の整数を$10$で割った余りはそれぞれ$$\color{red}{4,\,1,\,4,\,1}$$と求められる。

 

 

(2)

$p$、$q$を整数とする。

 

$\small z=(10p+3)+(10q+4)i$ と表される複素数$z$に対して $2+i$ を乗じると$$\small \{10(2p-q)+2\}+\{10(p+2q+1)+\color{red}{1}\color{black}{}\}i$$となり、実部の整数を$10$で割った余りは$2$、虚部の整数を$10$で割った余りは$1$となる。

 

また、$\small z=(10p+2)+(10q+1)i$ と表される複素数$z$に対して $2+i$ を乗じると$$\small \{10(2p-q)+3\}+\{10(p+2q)+\color{red}{4}\color{black}{}\}i$$となり、実部の整数を$10$で割った余りは$3$、虚部の整数を$10$で割った余りは$4$となる。

 

以上のことと、$(2+i)^2=3+4i$ であることから、$(2+i)^n$の虚部の整数を$10$で割った余りは$1$または$4$に限られる。

 

したがって$(2+i)^n$の虚部は$0$にならないから、$(2+i)^n$は虚数である。

 


 

(2)は数学的帰納法を用いて示しても良いと思います。重要なのは、$2+i$ を次々に乗じて得られる複素数の実部、虚部の整数を$10$で割った余りの周期性($1$と$4$を繰り返すこと)を示すことです。$(2+i)^n$の値を $n=10$ まで列挙すると以下のようになります。$$\small \begin{aligned}
2 &+ 1i \\
3 &+ 4i \\
2 &+ 11i \\
-7 &+ 24i \\
-38 &+ 41i \\
-117 &+ 44i \\
-278 &- 29i \\
-527 &- 336i \\
-718 &- 1199i \\
-237 &- 3116i \end{aligned}$$これを観察すれば$5$を法として考えても上手くいきそうだということが分かります。

因みに、理系数学では $2+i$ でしたが、文系数学の方では $3+i$ の冪が出題されました。$n \geqq 2$ のとき$(3+i)^n$の実部、虚部の整数を$10$で割った余りは常に$6$になるので論証の手間は軽くなります。実際、$(3+i)^n$の値を $n=10$ まで列挙すると$$\small \begin{aligned}
3 &+ 1i \\
8 &+ 6i \\
18 &+ 26i \\
28 &+ 96i \\
-12 &+ 316i \\
-352 &+ 936i \\
-1992 &+ 2456i \\
-8432 &+ 5376i \\
-30672 &+ 7696i \\
-99712 &- 7584i \end{aligned}$$となります。


複素数の冪に関する入試問題としては、2019年京大理系前期第6問、2016年九大理系後期第1問などに類題があります。複素数に絡んだ整数問題としては2000年の一橋大学前期第1問が良問です。

複素数の冪を見るとド・モアブルの定理を連想しがちですが本問では全く必要ありません。ド・モアブルの定理が必要となるのは例えば以下のような問題です。

$\small n$が$\small a_n=\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}i\right)^n$を実数とする最小の自然数のとき、$\small a_n$の値を求めよ。【1967年一橋大学(1次)第7問】

 

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答えは $\small \color{red}{a_{12}=-64}$ です。

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