複雑な定積分の極限値(2017年日本医科大学前期数学第3問)

本日は2017年の日本医科大学の前期試験から、一見すると手の付けにくそうな定積分の極限に関する問題を取り上げます。


《問題》

次の極限値を求めよ。$$\lim _{x \rightarrow \sqrt{\pi}} \int_{\sqrt{\pi}}^{x} \dfrac{\left(x^{2}+\sqrt{\pi} t\right) e^{t^{2}}}{\left(x^{3}-\sqrt{\pi} x^{2}+\pi x-\pi \sqrt{\pi}\right) t^{2} \log t} d t$$

(2017年日本医科大学 前期第3問)


《考え方》

解き方は大きく分けて2つ考えられます。1つは平均値の定理を利用する方法、もう1つは微分係数の定義に持ち込む方法です。いずれの方法でも意外にあっさり解けてしまうので、両方の考え方をマスターしておきましょう。ヒントが一切与えられていないので差が付く問題です。


解答例①

$$\small f(t)=\dfrac{\left(x^{2}+\sqrt{\pi} t\right) e^{t^{2}}}{\left(x^{3}-\sqrt{\pi} x^{2}+\pi x-\pi \sqrt{\pi}\right) t^{2} \log t}$$と置く。$\sqrt{\pi}<x$ のとき、$\sqrt{\pi} \leqq t \leqq x$ における$f(t)$の最大値を$M$、最小値を$m$と置くと、$m \leqq f(t) \leqq M$ より、$$\small m(x-\sqrt{\pi}) \leqq \int_{\sqrt{\pi}}^{x} f(t) d t \leqq M(x-\sqrt{\pi})$$が成り立つ。これより、$\displaystyle \int_{\sqrt{\pi}}^{x} f(t) d t=f(c)(x-\sqrt{\pi})$、$\sqrt{\pi} \leqq c \leqq x$ を満たすような実数$c$が存在する。$\sqrt{\pi}>x$ のときは不等号の向きが変わるだけで、同様に実数$c$が存在することが言える。

 

ここで$$\small \begin{align}
& f(c)(x-\sqrt{\pi}) \\
=\,& \dfrac{\left(x^{2}+\sqrt{\pi} c\right) e^{c^{2}}}{\left(x^{3}-\sqrt{\pi} x^{2}+\pi x-\pi \sqrt{\pi}\right) c^{2} \log c}(x-\sqrt{\pi}) \\
=\,& \dfrac{\left(x^{2}+\sqrt{\pi} c\right) e^{c^{2}}}{\left(x^{2}+\pi\right) c^{2} \log c}
\end{align}$$であり、$x \to \sqrt{\pi}$ のとき $c \to \sqrt{\pi}$ となるから、極限値は$$\small \begin{align}
& \lim _{x \rightarrow \sqrt{\pi}} \int_{\sqrt{\pi}}^{x} \dfrac{\left(x^{2}+\sqrt{\pi} t\right) e^{t^{2}}}{\left(x^{3}-\sqrt{\pi} x^{2}+\pi x-\pi \sqrt{\pi}\right) t^{2} \log t} d t \\
=\,& \dfrac{(\pi+\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}) e^{\pi}}{(\pi+\pi) \pi \log \sqrt{\pi}} \\
=\,&\color{red}{\dfrac{2 e^{\pi}}{\pi \log \pi}}
\end{align}$$と求められる。

 


解答例②

 

まず$$\small \begin{align}
& \int_{\sqrt{\pi}}^{x} \dfrac{\left(x^{2}+\sqrt{\pi} t\right) e^{t^{2}}}{\left(x^{3}-\sqrt{\pi} x^{2}+\pi x-\pi \sqrt{\pi}\right) t^{2} \log t} d t \\
=\,&\int_{\sqrt{\pi}}^{x} \dfrac{\left(x^{2}+\sqrt{\pi} t\right) e^{t^{2}}}{(x-\sqrt{\pi})\left(x^{2}+\pi\right) t^{2} \log t} d t \\
=\,&\dfrac{1}{x^{2}+\pi}\left(x^{2} \cdot \dfrac{\displaystyle \int_{\sqrt{\pi}}^{x} \dfrac{e^{t^{2}}}{t^{2} \log t} d t}{x-\sqrt{\pi}}+\sqrt{\pi} \cdot \dfrac{\displaystyle \int_{\sqrt{x}}^{x} \dfrac{e^{t^{2}}}{t \log t} d t}{x-\sqrt{\pi}}\right)
\end{align}$$のように変形する。

 

ここで $\displaystyle \int_{\sqrt{\pi}}^{x} \dfrac{e^{t^{2}}}{t^{2} \log t} d t=F(x)$、$\displaystyle \int_{\sqrt{x}}^{x} \dfrac{e^{t^{2}}}{t \log t} d t=G(x)$ と置くと、$F(\sqrt{\pi})=0$、$G(\sqrt{\pi})=0$ であるから$$\begin{align}
&\lim _{x \rightarrow \sqrt{\pi}} \frac{F(x)}{x-\sqrt{\pi}} \\
=\,& \lim _{x \rightarrow \sqrt{\pi}} \frac{F(x)-F(\sqrt{\pi})}{x-\sqrt{\pi}} \\
=\,&F^{\prime}(\sqrt{\pi}) \\
=\,&\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{2} \log x}\end{align}$$ $$\begin{align}&\lim _{x \rightarrow \sqrt{\pi}} \frac{G(x)}{x-\sqrt{\pi}} \\
=\,&\lim _{x \rightarrow \sqrt{\pi}} \frac{G(x)-G(\sqrt{\pi})}{x-\sqrt{\pi}} \\
=\,&G^{\prime}(\sqrt{\pi}) \\
=\,&\dfrac{e^{x^{2}}}{x \log x}
\end{align}$$と計算できる。

 

したがって、極限値は$$\small \begin{align}&\frac{1}{\pi+\pi}\left(\pi \cdot \frac{e^{\pi}}{\pi \log \sqrt{\pi}}+\sqrt{\pi} \cdot \frac{e^{\pi}}{\sqrt{\pi} \log \sqrt{\pi}}\right) \\ =\,&\color{red}{\dfrac{2 e^{\pi}}{\pi \log \pi}}\end{align}$$となる。

 


(コメント)

ヒントが全く与えられておらず、とっかかりの少ない問題です。しかし求めるのは極限値なので、はさみうちの原理や微分係数の定義などに持ち込めないか、という視点でアプローチすることができると思います。はさみうちの原理を用いる場合は平均値の定理を利用することになります。一方で、不定積分を仮定して導関数の定義から極限値を求める方法も有効なので、一度さらっておくと良いでしょう。

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