連立漸化式で定められた数列の整除性(2021年北海道大学前期理系数学第4問)

今回は北大の理系数学から連立漸化式で定められた数列に関する整数問題をピックアップします。


 

$a_{1}=2$、$b_{1}=1$ および

$a_{n+1}=2 a_{n}+3 b_{n}$、$b_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}$ $(n=1,2,3, \cdots)$

で定められた数列$\left\{a_{n}\right\}$、$\left\{b_{n}\right\}$がある。$c_{n}=a_{n} b_{n}$ とおく。

(1)$c_2$を求めよ。

(2)$c_n$は偶数であることを示せ。

(3)$n$が偶数のとき、$c_n$は$28$で割り切れることを示せ。

(2021年北海道大学 前期理系第4問)

 

 考え方

$c_n$の一般項を具体的に求める必要はありません。$c_n$が$28$で割り切れることは数学的帰納法を用いて証明するのが筋でしょう。


解答例

 

(1)

$$\begin{aligned}
a_{2} &=2 a_{1}+3 b_{1} \\
&=2 \cdot 2+3 \cdot 1 \\ &=7 \\
b_{2} &=a_{1}+2 b_{1} \\
&=2+2 \cdot 1 \\ &=4
\end{aligned}$$より、$$c_2= 7 \cdot 4=\color{red}{28}$$である。

 

 

(2)

まず、$a_{n}$と$b_{n}$はともに整数であることに注意する。$c_n$が奇数となるのは、$a_{n}$と$b_{n}$の両方が奇数の場合に限られる。

 

ここで、$a_{n}$と$b_{n}$のうち少なくとも一方が偶数のとき、与漸化式より$a_{n+1}$と$b_{n+1}$の少なくとも一方は偶数となるから、$k$をある正の整数として$a_{k}$と$b_{k}$のどちらか一方が偶数となった時点で$c_n$ $(n \geqq k)$は常に偶数となる。これより、数列$\{c_n | \,n=1,2,3, \cdots\}$の要素に奇数が現れるためには、少なくとも数列$\left\{a_{n}\right\}$、$\left\{b_{n}\right\}$の初項がともに奇数であることが必要となる。

 

しかし $a_{1}=2$、$b_{1}=1$ であるからこれは不可能。したがって数列$\{c_n\}$の要素に奇数が現れることは無いから、$c_n$はすべての正の整数$n$について偶数である。

 

 

(3)

$n$が偶数のとき

$(*)$「$c_{n}$が$28$で割り切れる」

ことを数学的帰納法を用いて示す。

 

(ア)$n=2$ のとき、(1)より $c_2=28$ となるから$(*)$が成り立つ。

 

(イ)$n=k$($k$は偶数)のとき$(*)$が成り立つと仮定する。

 

このとき与漸化式より、$$\begin{aligned}
a_{k+2} &=2 a_{k+1}+3 b_{k+1} \\
&=2\left(2 a_{k}+3 b_{k}\right)+3\left(a_{k}+2 b_{k}\right) \\
&=7 a_{k}+12 b_{k} \\
b_{k+2} &=a_{k+1}+2 b_{k+1} \\
&=\left(2 a_{k}+3 b_{k}\right)+2\left(a_{k}+2 b_{k}\right) \\
&=4 a_{k}+7 b_{k}
\end{aligned}$$となるから、$$\begin{aligned}
c_{k+2} &=a_{k+2} b_{k+2} \\
&=\left(7 a_{k}+12 b_{k}\right)\left(4 a_{k}+7 b_{k}\right) \\
&=28\left(a_{k}^{2}+3 b_{k}^{2}\right)+97 a_{k} b_{k} \\
&=28\left(a_{k}^{2}+3 b_{k}^{2}\right)+97 c_{k}
\end{aligned}$$と整理できる。

 

$a_{k}^{2}+3 b_{k}^{2}$は整数であるから、$28\left(a_{k}^{2}+3 b_{k}^{2}\right)$は$28$で割り切れる。また、仮定より$c_{k}$は$28$で割り切れる。

 

したがって$c_{k+2}$は$28$で割り切れるから、$n=k+2$ のときでも$(*)$が成り立つ。

 

以上(ア)、(イ)より、$n$が偶数のとき$c_{n}$が$28$で割り切れることが示された。

 


 

数列の整除性に関する典型的な整数問題です。数学的帰納法による方針を思いつくことができれば難なく完答できるでしょう。(2)では$a_{n}$と$b_{n}$がともに整数であることを証明無しに認めていますが、これは初項および漸化式の係数を考えれば帰納的に言えます。これも含めて数学的帰納法で処理しても良いと思います。

課程が変わって以降、最近の北大はコンスタントに整数分野から出題してくるようになりました。来年も整数問題の出題が予想されるのでしっかり対策しておきましょう。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です