首都大学東京2018年文系数学第3問

前頁に引き続き、首都大の文系数学です。複素数を解にもつ3次式に関する整数問題です。


《問題》

$i$ を虚数単位とする。 $m$ を整数とし、$g(x)=x^3-5x^2+mx-13$ とする。整数 $a$ と $0$ でない整数 $b$ が $g(a+bi)=0$ を満たすとき、以下の問いに答えなさい。

(1)$g(a-bi)=0$ が成り立つことを示しなさい。

(2)$g(x)$ が $x^2-2ax+a^2+b^2$ で割り切れることを示しなさい。

(3)$m$ の値を求めなさい。

(首都大学東京2018年文系 第3問)


《考え方》

前の投稿で解説した第2問と同様、3次式を題材とした複素数と整数分野の融合問題です。誘導に上手く乗りましょう。

(1)

仮定として $g(a+bi)=0$ が与えられており、$g(x)$が共役な複素数 $a-bi$ も解にもつことを証明させる設問です。

まず、与えられた条件を調べるため、$g(a+bi)$を展開してみます。$$\begin{align}&\ \ \ \ \  g(a+bi) \\ &=(a+bi)^{3}-5(a+bi)^{2}+m(a+bi)-13 \\ &=a^3+3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i \\ &\ \ \ \ \ -5a^2-10abi+5b^2+ma+mbi-13 \\ &=(a^3-3ab^{2}-5a^2+5b^2+ma-13) \\ &\ \ \ \ \ +(3a^{2}b-b^{3}-10ab+mb)i \end{align}$$と計算され、$g(a+bi)=0$ となるので$$\begin{cases} a^3-3ab^{2}-5a^2+5b^2+ma-13=0 \\ 3a^{2}b-b^{3}-10ab+mb=0 \end{cases} \tag*{・・・(★)}$$が成り立っていることが分かります。

共役複素数 $a-bi$ についても同様に計算しますと、$$\begin{align}&\ \ \ \ \  g(a-bi) \\
&=(a-bi)^{3}-5(a-bi)^{2}+m(a-bi)-13 \\
&=a^3-3a^{2}bi-3ab^{2}+b^{3}i \\
&\ \ \ \ \ -5a^2+10abi+5b^2+ma-mbi-13 \\
&=(a^3-3ab^{2}-5a^2+5b^2+ma-13) \\
&\ \ \ \ \ -(3a^{2}b-b^{3}-10ab+mb)i \end{align}$$となります。出てきた値は$g(a+bi)$に対する共役複素数となっていますから、条件$(★)$を利用することができ、$$g(a-bi)=0$$を示すことができます。

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(2)

問題文中にいきなり$$x^2-2ax+a^2+b^2$$という多項式が出てきています。問題の流れを把握している方にとっては明らかでしょうが、この多項式の正体は $x=a \pm bi$ を解にもつ2次式 $(x-a-bi)(x-a+bi)$ です。以下、$\alpha=a+bi$、$\beta=a-bi$ と表すことにします。解と係数の関係$$\begin{cases} \alpha + \beta &= 2a \\ \alpha \beta &= a^2+b^2 \end{cases}$$からも、多項式 $x^2-2ax+a^2+b^2$ が2次式 $(x-\alpha)(x-\beta)$ に一致することは明らかですね。

仮定及び(1)より、方程式 $g(x)=0$ が $x=\alpha$、$\beta$ を解にもつことは示されているので、因数定理により$g(x)$は $x^2-2ax+a^2+b^2$ を因数にもちます。したがって$g(x)$は $x^2-2ax+a^2+b^2$ で割り切れます。

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(3)

方程式 $g(x)=0$ の解のうち、$\alpha$、$\beta$と異なるものを$\gamma$とすれば$g(x)$は$$(x-\gamma)(x^2-2ax+a^2+b^2)$$と因数分解できます。これを展開して整理すると、$$x^3-(2a+\gamma)x^2+(a^2+b^2+2a\gamma)x-\gamma (a^2+b^2)$$となります。これと$$x^3-5x^2+mx-13$$は恒等式の関係にあるので係数を比較できて、$$\begin{cases} 2a+\gamma &= 5 &\cdots \text{①} \\ a^2+b^2+2a\gamma &= m &\cdots \text{②}\\ \gamma (a^2+b^2) &=13 &\cdots \text{③} \end{cases}$$を得ます。①と③より、$$(5-2a)(a^2+b^2)=13$$となります。まず $a^2+b^2>0$ より、$5-2a>0$ が必要なので $0 < a \leqq 2$ です。$a=1$ とすると左辺が$3$の倍数になり不適。よって $a=2$ と定まります。これより、$b=\pm 3$、及び $\gamma = 1$ が得られます。したがって$$\begin{align} m &=a^2+b^2+2a\gamma \\ &= 13+4 \\ &=\color{red}{17} \end{align}$$と求められます。


(コメント)

解答の筋道に関しては特に複雑な部分が無く、解きやすい問題と言えます。本問では$13$が2つの平方数の和で表せる素数なので解きやすくなっていますが、もし$g(x)$が $$g(x)=x^3-13x^2+mx-315$$ などで与えられていれば、もう少し場合分けが増えて楽しくなるのではないでしょうか・・・(笑)?(因みにこの場合は $m=87$ となります)

 

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