3個の平方数の和で表される自然数

日本では12月23日を「イブイブの日」と呼ぶ習慣が定着しつつある(?)ようですが、「イヴ(eve)」は”evening”の意で「夜」や「晩」を意味します。勘違いしている人が多そうですが、「前日」という意味はありません。外国では何というのかよく知りませんが・・・。


昔、とある数学者が「$n>1$ が自然数のとき、$16n+2$ はつねに自然数の平方数3個の和として表される」という予想を立てたらしいですが、実はこの命題には反例が存在し、$n=8$ のとき、即ち$130$は自然数の平方数3個の和として表せません。しかしこの命題は十分大きな$n$では成り立つらしい・・・。

自然数$N$が3個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、$n\geqq 0$、$k\geqq 0$、$l\in \{1,2,3,5,6\}$により、$$N=4^{n}(8k+l)$$と表されることであることが知られています。必要性の証明は比較的容易ですが、十分性の証明は難しいようです。

ここでミソなのは「3個の平方数の和」という部分で、これは「3個の自然数の平方数の和」とは異なります。上記の予想は20世紀の前半に立てられているらしいですが、証明済みなのかについては情報がありません。件の数学者は恐らくあまり小さな$n$を相手にしてなかったのではないか、と思いますが、反例があっさり見つかる予想というのも珍しいですね(今でこそコンピュータで手軽に探索可能になってはいますが)。


自然数を幾つかの平方数の和で表すために必要となる条件について、以前当サイトで取り上げたことがあります。気になる方はご覧になってください。(参考:記事「自然数を平方数の和で表す」)

 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です