2020年防衛医科大学入試における出題ミスについて

解答の概略

（１）

（省略）

（２）

検証の項で述べた通り、３つの実数解を持つ場合でないと関数$f(x)$は $x=a$ で極小値をとりません。したがって、求める$a$の範囲は

$a<0$ もしくは $1<a$ ･･･ (答)

となります。

（３）

$a<0$ もしくは $1<a$ のとき、$\alpha=a-\sqrt{a^{2}-a}$ であり、$\beta=a+\sqrt{a^{2}-a}$（$\alpha<\beta$）と置くと、増減表は$$\small \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline x & & \alpha & & a & & \beta &\\
\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\
\hline f(x) & \nearrow & \small \dfrac{1}{4} a^{2} & \searrow & \small \dfrac{1}{4} a^{3}(2-a) & \nearrow & \small \dfrac{1}{4} a^{2} & \searrow \\
\hline
\end{array}$$となります（増減表の値は$a$の正負に依りません）。直線 $l_1$ も $l_2$ も極大・極小における接線なので$x$軸に平行な直線です（特に直線 $l_1$ は「複接線」です）。

よって、$$\small \begin{aligned}
S_{1} &=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{\frac{a^{2}}{4}-f(x)\right\} d x \\
&=\left[\frac{a^{2}}{4} x\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta} f(x) d x \\
&=\frac{a^{2}}{4} (\beta-\alpha) \\ & \quad -\left[-\frac{1}{20} x^{5}+\frac{a}{4} x^{4}-\frac{2 a^{2}+a}{6} x^{3}+\frac{a^{2}}{2} x^{2}\right]_{\alpha}^{\beta}
\end{aligned}$$となりますが、この後半の計算はマジメに実行したくないので$$\small \begin{aligned}
&\frac{1}{60}[(x^{2}-2 a x+a)\left\{3 x^{3}-9 a x^{2}+(2 a+7) a x+(4 a-7) a^{2}\right\} \\
& \quad+\left(8 a^{2}-16 a-7\right) a^{2} x+(-4 a+7) a^{3}]
\end{aligned}$$と整理してやると、$$\small \begin{aligned}
S_{1} &=\frac{1}{4} a^{2}(\beta-\alpha)+\frac{1}{60} \left(8 a^{2}-16 a-7\right) a^{2}(\beta-\alpha)+\frac{1}{60}(-4 a+7) a^{3} \\
&=\frac{2}{15}\left(a-1\right)^{2} a^{2}(\beta-\alpha)+\frac{-4a^{4}+7a^{3}}{60} \\
&=\color{red}{\frac{4}{15}\left(a-1\right)^{2} a^{2}\sqrt{a^{2}-a}+\frac{-4a^{4}+7a^{3}}{60}}
\end{aligned}$$と求められます。

次に$S_2$を求めるために直線 $l_2$ と曲線 $y=f(x)$ の交点を求めます。そこで方程式$$f(x)=\frac{1}{4}a^{3}\left(2-a\right)$$を解くと$$x=a,\,a\pm\sqrt{2(a^{2}-a)}$$を得るので、$$\small \begin{aligned}
S_{2} &=\int_{a-\sqrt{2(a^{2}-a)}}^{a+\sqrt{2(a^{2}-a)}}\left\{f(x)-\frac{1}{4}a^{3}\left(2-a\right)\right\} d x \\
&=\left[-\frac{1}{20} x^{5}+\frac{a}{4} x^{4}-\frac{2 a^{2}+a}{6} x^{3}+\frac{a^{2}}{2} x^{2}\right]_{a-\sqrt{2(a^{2}-a)}}^{a+\sqrt{2(a^{2}-a)}} \\
& \quad \quad -\left[-\frac{1}{4}a^{3}\left(2-a\right)x\right]_{a-\sqrt{2(a^{2}-a)}}^{a+\sqrt{2(a^{2}-a)}}
\end{aligned}$$となります。こちらも同様に第1項の多項式を $x^2-2ax-a^2+2a$ で除すると、$$\small \begin{aligned}
& -\frac{1}{60}\{x^2-2ax+(-a^2+2a)\}\{3 x^3 – 9 a x^2 + a (5 a + 4) x + (a – 4) a^2\} \\
& \quad \quad -\frac{1}{60}(7a^2-14a-8)a^2 x-\frac{1}{60}(a^2-6a+8)a^3
\end{aligned}$$と整理できるので$$\small \begin{aligned}
S_{2} &=-\frac{1}{60}(7a^2-14a-8)a^2 \cdot 2\sqrt{2(a^{2}-a)} \\
& \quad \quad -\frac{1}{60}(a^2-6a+8)a^3+\frac{1}{4}a^{3}\left(2-a\right) \cdot 2\sqrt{2(a^{2}-a)} \\
&=\color{red}{\frac{-11a^2+22a+4}{15}a^{2}\sqrt{2(a^{2}-a)}+\frac{1}{60}(a-4)(a-2)a^3}
\end{aligned}$$と求められます。