3元3次式の整数問題(旭川医科大学2015年数学第1問)

旭川医科大学の前期試験から3元3次式の整数問題を取り上げます。


《問題》

$f(p, q, r)=p^{3}-q^{3}-27 r^{3}-9 p q r$ について,次の問に答えよ.

問1 $f(p, q, r)$ を因数分解せよ.

問2 等式 $f(p, q, r)=0$ と $p^{2}-10 q-30 r=11$ の両方を満たす正の整数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ.

(旭川医科大学2015年 第1問)


《考え方》

$f(p, q, r)$は3次式の因数分解が使える形になっています。問2では因数分解した結果に基づいて解を絞り込みます。このとき $f(p, q, r)=0$ を満たす条件によく注意しましょう。


解答例

 

 問1

$$\small \begin{align}
a^{3}+& b^{3}+c^{3}-3 a b c \\
&=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)
\end{align}$$と因数分解できるから、$a=p$、$b=-q$、$c=-3r$ と置くことで、$$\small \begin{align}
& \quad \ f(p, q, r) \\
&=p^{3}+(-q)^{3}+(-3 r)^{3}-3 p(-q)(-3 r) \\
&=\color{red}{(p-q-3 r)\left(p^{2}+q^{2}+9 r^{2}+p q+3 p r-3 q r\right)}
\end{align}$$と因数分解できる。

 

 

 問2

任意の実数 $a$、$b$、$c$ について$$\small \begin{align}
&\quad \ a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a \\
&=\dfrac{1}{2}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\} \\
& \geqq 0
\end{align}$$が成り立つ。この等号が成立するのは $a=b=c$ のときであるが、$p$、$q$、$r$ は正の整数なので、$$\small \dfrac{1}{2}\left\{(p+q)^{2}+(p+3 r)^{2}+(-q+3 r)^{2}\right\}>0$$である。

 

よって$$\small f(p, q, r)=0 \iff p-q-3 r=0$$が言える。したがって、$$\left\{\begin{array}{l}
p-q-3 r=0 \\
p^{2}-10 q-30 r=11
\end{array}\right.$$を満たす正の整数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めればよい。これを整理すると$$\left\{\begin{array}{l}
p=11 \\
q+3 r=11
\end{array}\right.$$となるから、これを満たす正の整数の組は$$\small (p, q, r)=\color{red}{(11,8,1),(11,5,2),(11,2,3)}$$である。


(コメント)

3次式が登場しますが最終的には単なる連立方程式に落ち着きます。焦らず式変形で片付けましょう。$\small a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a$ が$0$以上であることは常識としておきましょう!

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