3次方程式の解の公式

本稿では3次方程式の解の公式、いわゆる「カルダノの公式」を導出していきます!チルンハウス変換についても少し触れています。


3次式に関する以下の公式はよく知られています。$$\begin{align} a^{3}+& b^{3}+c^{3}-3abc \\ =& (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a) \end{align}$$しかし、ここから3次方程式の解の公式が導かれるということはあまり知られていないように思います。

そこで今回は、次の補題を用いて3次方程式の解の公式を導いてみます。但し、方程式の係数は実数とします。

補題
1の3乗根のうち虚数のものを$\omega$とおくと$$\begin{align} a^{3}+& b^{3}+c^{3}-3 a b c \\=&(a+b+c)(a+b\omega+c \omega^{2})(a+b \omega^{2}+c \omega) \end{align}$$が成り立つ。

まず、$$\begin{align} (a+b\omega+& c \omega^{2})(a+b \omega^{2}+c \omega) \\=& a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a \end{align}$$が成り立つことを示します。これは、左辺を展開して $\omega^{3}= 1$、$\omega^{2}+\omega+1=0$ を用いれば良いでしょう。または、次のように右辺を因数分解することによっても証明できます。$$a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=0$$を$a$について解くと$$a =\dfrac{b+c}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}(b-c) i$$となります。ここで $\omega =\dfrac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ と置くと、$\omega^{2}=\dfrac{-1-\sqrt{3} i}{2}$ と表されるので、これより $a =-b \omega-c \omega^{2}, -b \omega^{2}-c \omega$ となり、$$\begin{align} (a+b\omega+& c \omega^{2})(a+b \omega^{2}+c \omega) \\=& a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a \end{align}$$が成り立つことが示されます。

これで補題が示されました。

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補題において$a$を$x$、$b$を$-u$、$b$を$-v$と置き換えると、$$\begin{aligned} & x^{3}-3 u v x-u^{3}-v^{3} \\=& x^{3}+(-u)^{3}+(-v)^{3}-3 x(-u)(-v) \\=&(x-u-v)(x-u \omega-v \omega^{2})(x-u \omega^{2}-v \omega) \end{aligned}$$が成り立ちます。よって、3次方程式 $x^3+px+q=0$ の解は$$\begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q\end{cases} \quad \cdots (*)$$と置けば、$$x=u+v,\ u \omega+v \omega^{2},\ u \omega^{2}+v \omega$$と表すことができます。

さらに具体的な解を求めてみましょう。$(*)$より$$\begin{cases} u^{3}+v^{3}=-q \\ u^{3} v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27}\end{cases}$$を得るので、$u^{3}$と$v^{3}$は$t$の2次方程式$$t^{2}+q t-\dfrac{p^{3}}{27}=0$$の2解であることが分かります。これを解いて$$\begin{cases} u^{3}=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}} \\ v^{3}=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\end{cases}$$を得るので、$$\begin{cases} u=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}} \\ v=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}}\end{cases}$$と求められます。

以上より、$r=\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}$ と置くと、3次方程式$$x^3+px+q=0$$の解は
$$\color{red}{x=\begin{cases} \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{r}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{r}} \\ \omega\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{r}}+ \omega^{2}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{r}} \\ \omega^{2}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{r}} + \omega\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{r}}\end{cases}}$$と求めることができます。

これは「カルダノの公式」と呼ばれ、一般の3次方程式は次のような置換(チルンハウス変換)によって $x^3+px+q=0$ という形に式変形できるので、これが3次方程式の解の公式となります。

$n$次方程式$$a_{0}x^n + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{x-2} + \ldots + a_{n-1}x + a_{n}=0$$に対して $x=t-\dfrac{a_{1}}{{}_n \mathrm{C}_{n-1}a_{0}}$ と置換すると $n-1$ 次の項を消去することができます。これをチルンハウス変換と呼びます。

3次方程式のチルンハウス変換
$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$において $x=t-\dfrac{b}{3a}$ と置くと、$$\begin{align} & a\left(t-\dfrac{b}{3 a}\right)^{3}+b\left(t-\dfrac{b}{3 a}\right)^{2}+c\left(t-\dfrac{b}{3 a}\right)+d \\ =& a t^{3}+\left(-\dfrac{b^{2}}{3 a}+c\right) t+\left(\dfrac{2 b^{3}}{27 a^{2}}-\dfrac{b c}{3 a}+d\right) \end{align}$$となるので、$p =-\dfrac{b^{2}}{3 a^{2}}+\dfrac{c}{a}$、$ q=\dfrac{2 b^{3}}{27 a^{3}}-\dfrac{b c}{3 a^{2}}+\dfrac{d}{a}$ と置くと方程式は$$t^3+pt+q=0$$の形に帰着します。

カルダノの公式を背景に持つ入試問題は時々出題されるので、知っておいて損は無い話題だと思います。

 

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