36の倍数になる条件(2021年札幌医科大学前期数学第1問(2))

今回は札幌医科大学の数学から、多項式に関する典型的な整数問題を扱います。


 

自然数$n$に対して$$\small N=(n+2)^3-n(n+1)(n+2)$$が$36$の倍数になるような$n$をすべて求めよ。

(2021年札幌医科大学 前期第1問(2))

 

 考え方

展開しても良いですが、上手く因数分解して積の形にするのが見通し良好です。$N$が$2$の倍数、$3$の倍数になるような$n$の条件を探っていきましょう。小問集合のうちの1題なので手際良く解きたいところ。


解答例

 

$$\small \begin{aligned}
N &=(n+2)^{3}-n(n+1)(n+2) \\
&=(n+2)\left\{(n+2)^{2}-n(n+1)\right\} \\
&=(n+2)\left\{\left(n^{2}+4 n+4\right)-\left(n^{2}+n\right)\right\} \\
&=(n+2)(3 n+4)
\end{aligned}$$と整理できる。$n$が奇数のとき、$n+2$ と $3n+4$ はともに奇数となるから$N$が$36$の倍数になることはない。よって$n$は偶数であることが必要である。

 

そこで $n=2k$($k$は正の整数)と置くと、$$N=4(k+1)(3k+2)$$と表せる。これは$4$の倍数であるから$(k+1)(3k+2)$が$9$の倍数になるような$k$の条件を調べればよい。

 

$k$が整数のとき $3k+2$ は$3$で割った余りが$2$であるような整数となるから$3$の倍数にならない。よって $k+1$ が$9$の倍数になるとき$N$は$36$の倍数になるから、$k=9l-1$($l$ は正の整数)と置いて$$\color{red}{n=18l-2}$$を得る。この形の式で表されるすべての正の整数$n$が求めるような自然数である。

 

与式の形をそのまま利用する解法も考えられます。

別解

 

$n(n+1)(n+2)$は隣接する3つの整数の積であるから、任意の$n$に対して$6$の倍数である。よって$N$が$6$の倍数となるためには、$(n+2)^{3}$もまた$6$の倍数であることが必要となる。これを満たすような自然数$n$は正の整数$k$を用いて$$n=6k-2$$と表せる。これを$N$の式に代入して整理すると、$$N=12k(9k-1)$$となる。$N$が$36$の倍数となるためには$k(9k-1)$が$3$の倍数となる必要があるが、$9k-1$ は$3$の倍数にならない。よって$k$が$3$の倍数となることが必要である。そこで正の整数 $l$ を用いて$$k=3l$$と置くと、$$\color{red}{n=18l-2}$$を得る。この形の式で表されるすべての正の整数$n$が求めるような自然数である。

 


 

$N$が$36$の倍数となるためには、少なくとも$2$の倍数(偶数)であることが必要、少なくとも$3$の倍数であることが必要…というように考えていけば自ずと$n$の条件が絞り込まれていきます。上手い式変形を思いつく必要は必ずしもありません。

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