n^2+2とn^4+2とn^6+2の最大公約数(2022年京都大学理系数学第3問)

今年の京都大学の数学はシンプルな問題が並びました。本問もその一つです。


 

$n$を自然数とする.3つの整数 $n^{2}+2$,$n^{4}+2$,$n^{6}+2$ の最大公約数$A_{n}$を求めよ.

(2022年京都大学 理系第3問)

 

 考え方

京大数学ではお馴染み、3の倍数(剰余)で処理するタイプの整数問題です。次数が高いですが「整式同士の割り算で余りの候補を絞り込めるのでは?」と気付いたらあとは一直線。

いやいや、そんなことを言われても手の付け所が分からない!という人は$n$に小さい値を代入して「実験」してみましょう。$n=6$ まで様子を見てみます。$$\begin{array}{c|ccc:c}
n & n^{2}+2 & n^{4}+2 & n^{6}+2 & A_n \\
\hline 1 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
2 & 6 & 18 & 66 & 6 \\
3 & 11 & 83 & 731 & 1 \\
4 & 18 & 258 & 4098 & 6 \\
5 & 27 & 627 & 15627 & 3 \\
6 & 38 & 1298 & 46658 & 2
\end{array}$$ $A_n$の推移を見るに、どうやら「3の剰余」の他に「偶奇」も関わってくるようです。こんなときは$\bmod{6}$ の出番です。


解答例

 

$$n^{4}+2 =(n^{2}+2)(n^{2}-2)+6$$および$$n^{6}+2 =(n^{2}+2)(n^{4}-2 n^{2}+4)-6$$と変形できることに着目する。いま、$n^2+2$、$n^{4}+2$、 $n^{6}+2$ はいずれも$A_n$の倍数であるから、$A_n$は$6$を割り切る正の整数でなければならない。つまり$A_n$は$1$、$2$、$3$、$6$のいずれかに限られる。

 

ここで $n^2+2$、$n^4+2$、$n^6+2$ を$6$で割った余りを表にすると以下のようになる。$$\begin{array}{c|ccc:c}
n & n^{2}+2 & n^{4}+2 & n^{6}+2 \\
\hline 0 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
2 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 5 & 5 & 5 \\
4 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 3 & 3 & 3
\end{array}$$これより、$$A_{n}=\color{red}{\begin{cases}1 & (n \equiv 3 \pmod{6} \text { のとき}) \\ 2 & (n \equiv 0 \pmod{6} \text { のとき}) \\ 3 & (n \equiv 1,5 \pmod{6} \text { のとき}) \\ 6 & (n \equiv 2,4 \pmod{6} \text { のとき})\end{cases}}$$と求められる。

 


 

3の剰余と偶奇が関わるので $\bmod 6$ で対応するのが一般的な解法でしょう。別解としては、差を取って$A_n$を絞り込む方法が考えられます。各多項式の差は $n^2(n^2-1)$、$n^2(n^2+1)(n^2-1)$、$n^4(n^2-1)$ となります。$n^2+1$ と $n^2+2$ は差が$1$なので互いに素ですから、結局は $n^2+2$ と $n^2$、$n^2-1$ との公約数を探せばよいことが分かります。

今年の京大理系数学は易化傾向のようです。全体を見渡すとやはり異色の第1問が目立ちますが、京大を受けるような学生なら数分も掛けずに解きたいところ。難しめなのは右ページの第5問、第6問あたりでしょうか。特に第6問は誘導が無く内容も易しくないのでそれなりに差が付きそうです。

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