pが素数ならばp^4+14は素数でない(2021年京都大学前期文系数学大問5)

引き続き今年の京大文系数学から整数問題を取り上げます。


 

p が素数ならば p4+14 は素数でないことを示せ。

(2021年京都大学 前期文系大問5)

 

 考え方

素数でないことを示すには、何かの倍数になっていることを示せばOK。上手い切り口が見つからない場合は小さい素数pを代入して実験してみると良いでしょう。

以下の解答例ではp3でない素数の場合に p4+143の倍数になっていることに着目して解答します。素数条件に関する整数問題は京大数学の定番テーマなので確実に取りたい問題です。


解答例

 

p=3 のときp4+14=95=5×19となり素数でない。

 

p3でない素数の場合、ある整数mを用いて p=3m±1 と置ける。このときp4+14=(3m±1)4+14=3(27m4±36m3+18m2±4m+5)となり、p4+143より大きな3の倍数となるから素数でない。

 

以上より、p が素数ならば p4+14 は素数でないことが示された。

 


 

4乗というところが少し引っ掛かるかもしれませんが、お決まりのパターンの整数問題でした。素数絡みの整数問題としては2018年2019年などに類題があります。

因みに整数pを素数に限定しない場合、p4+14 を素数にするようなp1000以下の範囲で探索すると

165,195,255,405,435,465,555,885,975

の9個が見つかります。いずれも15の倍数なので、5を法とする剰余類で考えても上手くいきそうですね。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です