引き続き今年の京大文系数学から整数問題を取り上げます。
$p$ が素数ならば $p^4+14$ は素数でないことを示せ。
（2021年京都大学 前期文系大問5）
考え方
素数でないことを示すには、何かの倍数になっていることを示せばOK。上手い切り口が見つからない場合は小さい素数$p$を代入して実験してみると良いでしょう。
以下の解答例では$p$が$3$でない素数の場合に $p^4+14$ が$3$の倍数になっていることに着目して解答します。素数条件に関する整数問題は京大数学の定番テーマなので確実に取りたい問題です。
解答例
$p=3$ のとき$$\small \begin{aligned} p^4+14 &= 95 \\ &=5 \times 19 \end{aligned}$$となり素数でない。
$p$が$3$でない素数の場合、ある整数$m$を用いて $p=3m \pm 1$ と置ける。このとき$$\small \begin{aligned} p^4+14 &=(3m \pm 1)^4+14 \\ &=3 (27 m^4 \pm 36 m^3 + 18 m^2 \pm 4 m + 5) \end{aligned}$$となり、$p^4+14$ は$3$より大きな$3$の倍数となるから素数でない。
以上より、$p$ が素数ならば $p^4+14$ は素数でないことが示された。
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$4$乗というところが少し引っ掛かるかもしれませんが、お決まりのパターンの整数問題でした。素数絡みの整数問題としては2018年や2019年などに類題があります。
因みに整数$p$を素数に限定しない場合、$p^4+14$ を素数にするような$p$を$1000$以下の範囲で探索すると
165,195,255,405,435,465,555,885,975
の９個が見つかります。いずれも$15$の倍数なので、$5$を法とする剰余類で考えても上手くいきそうですね。