【順像法と逆像法①】通過領域問題の攻略法

図形の通過領域を求める方法である「順像法」と「逆像法」は、軌跡･領域の単元で重要となる考え方です。今回はパラメータ表示された直線を例に、２つの手法の違いについて視覚的に詳しく解説します！　さらに、包絡線を用いた領域の求め方も併せてご紹介します！

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 「領域」について

まず、そもそも「領域」とは何でしょうか？

大抵の教科書には次のように書いてあります。

例えば、$$y \leqq x^2$$という不等式が表す領域を$xy$平面上に図示すると以下のようになります。

この不等式は座標平面上の領域に読み替えると、「$y$ が $x^2$ 以下となる領域」という意味になります。因みに英語では「領域」のことを “domain” と呼ぶので、問題文ではしばしば「領域$D$」などと名付けられます。

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領域を表す不等式は別に一つだけとは限りません。むしろ二つ以上の不等式で表現されることの方が多いです。例えば次のような場合を考えてみましょう。$$D:\begin{cases} y \leqq x \\ x^2+(y-1)^2<4 \end{cases}$$この領域を図示すると以下のようになります。赤と青の２つの領域が重なる部分が領域 $D$ です。破線部の境界線上は含みません。

基本的に連立不等式で表現される領域はすべて「かつ」で結ばれているので、すべての不等式を満たす領域（積集合）が領域 $D$ となります。

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領域の復習はこのくらいにしておきましょう。実際の試験では以下のような問題が出題されます。

この問題を解くには幾つか方法があります。そのうちで最もシンプルなのが「順像法」という手続きによるものです。

 

 順像法

「順像法」は別名「ファクシミリの方法」とも呼ばれます。何故そう呼ばれるのかは後ほど説明します。

他にも「正像法」とか「順手流」、「自然流」などの呼び名がありますが、考え方さえ知っていれば名前自体はどうでも良いので全部覚える必要はありません。

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順像法の概要は次の通りです。

「$x$を固定する」というのは $x$ を定数と見なす、という意味です。例えば、実数$x$は $1.5$ や $\dfrac{3}{7}$ や $-\sqrt{2}$ など様々な値をとりますが、それをある一定値に固定して考えるということです。

また、手順の②でやっているのは、与式を $y=f(a)$ という$a$の関数と考えて値域を調べる作業です。$f(a)$の次数や形によって、平方完成すればよいのか、それとも微分して増減を調べる必要があるのかが変わってきますので、臨機応変に対応しましょう。

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早速、順像法を用いて先ほどの問題を解いてみましょう。

本問で登場するパラメータは$a$で、$a$は全実数を動くことに注意します。

図示すると以下のようになります。なお、図中の直線は $y=2ax-a^2$ です（図中の点$\mathrm{P}$は自由に動かせます）。

この図からも、直線 $l$ が通過する領域が $y \leqq x^2$ であることが見て取れると思います。

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ところで、順像法による解答は理解できていますか？

解答では具体的に何をしているかと言うと「$x=t$ という$x$軸に垂直な直線上で条件を満たす点（下図中の点$\mathrm{Q}$）を求める、という操作を全実数$t$について行っている」というだけです。この場合の「条件」は「直線 $l$ が通過する」であり、赤と緑の２本の直線は $l$ に対応しています。

図を使って体感した方が早いと思います。上の図で点$\mathrm{P}$を動かさずに点$\mathrm{Q}$を色々と動かしたとき、点$\mathrm{Q}$を通る赤と緑の２本の直線も一緒に動きます。この２直線が問題文中の「直線 $l$」に相当しています。

点$\mathrm{Q}$をずっと上に持っていくと、ある点$\mathrm{P}$で止まり、２直線はお互いに一致します。これが領域の上限に相当します。要するに、点$\mathrm{P}$より上側の領域には直線 $l$ 上の点は存在しない、つまり、直線 $l$ は点$\mathrm{P}$より上側の領域を通過しない、ということを意味します。

これを$x$軸の左端から右端までくまなくスキャンするように調べ上げることで、直線の通過領域を求めることができます。これが「順像法」の考え方です。「順像法」が「ファクシミリの方法」とも呼ばれているのは、値域を調べる手順がファックスを送るときに紙をスキャンする様子に似ているためです。

順像法だと問題設定によっては多数の場合分けが発生するケースもありますが、基本的に全ての問題は順像法で解くことができます。

 逆像法

領域を求めるもう一つの強力な手法を紹介します。それは「逆像法」と呼ばれる方法で、順像法の考え方を逆さまにしたような考え方であることから、「逆手流」などと呼ばれることもあります。

逆像法の概要は次の通りです。

与方程式（不等式）をパラメータについて整理するというのは、元々$x$と$y$の式だと思っていた与式を、パラメータを変数とする方程式に読み替えることを指します。

例えば、$y = 2ax-a^2$ という直線 $l$ の方程式は、$a$が単なる係数で、メインは$x$と$y$の式、という風に見えますが、これを$$a^2-2xa+y = 0 \quad \cdots (*)$$と変形してやれば、$a$に関する二次方程式として見ることもできますよね。

いま、$a$は実数でなければならないので、$a$の方程式$(*)$は少なくとも１つ以上の実数解を持つ必要があります。方程式$(*)$はちょうど$a$に関する二次方程式になっていますから、ここで実数解をもつ条件を調べます。

判別式 $D/4 = (-x)^2-1 \cdot y$ について $D \geqq 0$ が必要なので、$$x^2-y \geqq 0 \quad \cdots (**)$$が必要条件となります。逆に$(**)$が成り立つとき、方程式$(*)$を満たす実数$a$は必ず存在するので、これは十分条件でもあります。

したがって、方程式$(*)$を満たす実数$a$が存在することと条件$(**)$は同値なので、条件$(**)$を満たすような$x$、$y$の存在領域が求める領域そのものとなります。

以上の流れを答案風にすると次のようになります。

あまりにもあっさりしていて、初見だと何が起こっているのか訳が分からないと思います。これも図を使って理解するのが良いでしょう。

順像法のときは先に点$(x,y)$を決めてから、これを通るような直線を考えていました。つまり、順像法では点$(x,y)$を軸に平行な直線上に固定し、$a$の値を色々と動かして可動範囲をスキャンするように探す、というやり方でしたよね。

これに対して、逆像法では点$(x,y)$を固定してから、パラメータ$a$を色々動かして直線 $l$ が点$(x,y)$を通るときの$a$を探す、というイメージで掃過領域を求めます。

例えば、下の図で点$\mathrm{R}$が $y \leqq x^2$ の領域（赤塗りの部分）にあるときは、直線 $l$ 上に点$\mathrm{R}$を乗せることができます。

しかし、$y>x^2$ の領域（白い部分）に点$\mathrm{R}$があるときは、いくら頑張っても直線 $l$ は点$\mathrm{R}$を通過できません。このことこそが$a$が実数となるような$x$、$y$が存在しないという状況に対応しています（※このとき、もし直線 $l$ が点$\mathrm{R}$を通過するなら$a$は虚数になります！）。

下図中の点は２つとも動かせます。是非、実際に手を動かして遊んでみて下さい！

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さて、ここで一つ注意事項があります。逆像法は確かに領域をズバッと求めることのできる強力な手法ですが、パラメータの式が複雑なときはあまり威力を発揮できないことがあります。

例題では、直線 $l$ の方程式が$$a^2-2xa+y = 0$$と２次式に変形できたので解の実数条件に持ち込むことができました。しかしこれが$a$の３次式や４次式になると、逆像法では手に負えなくなります（一般に、３次以上の方程式では解の存在条件を調べるのが難しいためです）。

例えば、実数$a$が $0<a<2$ の範囲を動くときの直線 $l:y = ax+a^3$ の掃過領域を求めるといった場合では、逆像法だとかえって解答が面倒になってしまいます。

逆像法は、パラメータが1文字で2次以下、もしくは、パラメータが2文字でかつ対称式によって表せる、という条件の下で主に有効な手法です。使っていくうちに何となく感覚として身に付くとは思いますが、前もって覚えておくと良いでしょう。

 

 順像法と逆像法のまとめ

では、ここで順像法と逆像法の要点をおさらいしておきましょう。

簡単にまとめましたが、実際に色々な問題に触れ、それぞれの方法に慣れておくことが大切です。

 

 包絡線による方法【発展的内容】

最後にオマケとして包絡線（ほうらくせん）を用いた領域の求め方を紹介します。この方法の背景となる数学的な理論は高校範囲を超えるので、実際の入試では検算くらいにしか使えません。難しいと感じたら読み飛ばしてOKです。

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まず「包絡線」について簡単に説明しておきます。

$t$をパラメータとします。方程式 $f_t(x, y)=0$ の左辺を、$t,x,y$の３変数からなる関数$F(t,x,y)$と見なし、さらに$F(t,x,y)$が微分可能であるとします。$t$で微分可能な関数$F(t,x,y)$について、$$\begin{cases} F(t,x,y)=0 \\ \dfrac{\partial }{\partial t}F(t,x,y)=0 \end{cases}$$を満たすような点の集合から成る曲線を、曲線群 $f_t(x, y)=0$ の包絡線と言います。

厳密な理論をすっ飛ばすと、パラメータを含む曲線群 $f_t(x, y)=0$ の包絡線は以下の手順で求めることができます。

この手順に従って直線群 $l_a:y=2xa-a^2$ の包絡線を求めてみましょう（パラメータは$a$です）。式を整理すると$$a^2-2xa+y=0$$となるので$$F(a,x,y)=a^2-2xa+y$$と置きます。以下、手順に従います。

①：$F(a,x,y)=0$ を$a$で微分すると$$2a-2x=0$$となる

②：$a=x$ を得る

③：$a^2-2xa+y=0$ に $a=x$ を代入して整理して$$y=x^2$$を得る。

これより、直線群 $l_a:y=2xa-a^2$ の包絡線は放物線 $y=x^2$ であることが分かりました。実際、直線 $l$ はこの放物線の接線として振る舞うので、正しく包絡線が求められています。

以上のことから、直線 $l$ は放物線 $y=x^2$ にピッタリくっつきながら動くことが分かります。よって直線 $l$ の掃過領域は $y \leqq x^2$ と即答できます。

または、放物線の方程式が予め分かっていれば、直線の方程式と連立して重解をもつことを示せば包絡線になっていることが言えます。

※以上のことは全く自明ではないので厳密に証明する必要はありますが、答えのアタリを付けたり、検算に使ったりするくらいには使えます。もちろん、この事実を知らなくても大学受験に臨む上では全く問題無いので、そういうもんなのか、と思っておくだけでも十分です。

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