【順像法と逆像法②】放物線の掃過領域（東京大学2015年）

順像法による解答例

与式を$$\begin{aligned}
y &= a x^{2}+\dfrac{1-4 a^{2}}{4 a} \\
&=a x^{2}+\dfrac{1}{4 a}-a \\
&=(x^2-1)a+\dfrac{1}{4a}
\end{aligned}$$と変形する。ここで、$x=t$（$t$は定数）と置いて$x$を固定すると、そのときの$y$の値が取り得る範囲は$a$の関数$$f(a)=(t^2-1)a+\dfrac{1}{4a}$$の値域に等しい。以下、係数 $t^2-1$ の正負で場合分けを行い、関数$f(a)$の値域を調べる。

また、$$\begin{aligned}
f^{\prime}(a) &= t^{2}-1-\frac{1}{4 a^{2}} \\
&=\frac{4\left(t^{2}-1\right) a^{2}-1}{4 a^{2}}
\end{aligned}$$であることに注意する。

（ⅰ）$t^{2}-1 \leqq 0$ のとき、$f^{\prime}(a)<0$ となるから $f(a)$ は単調減少である。$$\displaystyle \lim _{a \rightarrow+0} f(a)=\infty$$および$$\displaystyle \lim _{a \rightarrow \infty} f(a)=\left\{\begin{array}{cc}0 & \left(t^{2}-1=0\right) \\ -\infty & \left(t^{2}-1<0\right)\end{array}\right.$$となるから、$y$の値域は$$\left\{\begin{array}{lc}k=\pm 1 \text { のとき、} 0<y \\ -1<k<1 \text { のとき、} y \text { は任意の実数 }\end{array}\right.$$となる。

（ⅱ）$t^{2}-1 > 0$ のとき、導関数$f^{\prime}(a)$は$$\small f^{\prime}(a)=\dfrac{4\left(t^{2}-1\right)}{4 a^{2}}\left(a-\dfrac{1}{2 \sqrt{t^{2}-1}}\right)\left(a+\dfrac{1}{2 \sqrt{t^{2}-1}}\right)$$となり、増減表は次のようになる。$$\small \begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline a & (0) & \cdots & \dfrac{1}{2 \sqrt{t^{2}-1}} & \cdots \\
\hline f^{\prime}(a) & & – & 0 & + \\
\hline f(a) & (\infty) & \searrow & \sqrt{t^{2}-1} & \nearrow \\
\hline
\end{array}$$ $\displaystyle \lim _{a \rightarrow+0} f(a)=\infty$ および $\displaystyle\lim _{a \rightarrow \infty} f(a)=\infty$ を合わせると、$y$の値域は$$y \geqq \sqrt{t^{2}-1}$$となる。

以上（ⅰ）と（ⅱ）の結果から、放物線$C$の通過する領域は以下の斜線部のようになる。ただし、境界線は $y = \sqrt{x^{2}-1}$（$y>0$）の部分のみ含む。

逆像法による解答例

放物線$C$の方程式は$$y = a x^{2}+\dfrac{1-4 a^{2}}{4 a}$$ $$\therefore (x^2-1)a^2-ya+\dfrac{1}{4}=0$$と変形できる。これより、$C$が点$(X,Y)$を通過するような実数$a$が存在するための条件は、$a$に関する方程式$$(X^2-1)a^2-Ya+\dfrac{1}{4}=0 \quad \cdots ①$$が正の実数解$a$を少なくとも１つもつ条件に一致する。

以下、$f(a)=(X^2-1)a^2-Ya+\dfrac{1}{4}$ と置いて方程式$①$が正の実数解をもつ条件を調べる。なお、$$f(0)=\dfrac{1}{4} \quad \cdots ②$$であることに注意する。

（ⅰ）$X^2-1=0$、即ち $X=\pm 1$ のとき、$$f(a)=-Ya+\dfrac{1}{4}$$ となるから、このとき $f(a)=0$ が正の実数解をもつためには傾き $-Y$ が負でなければならない。したがって、$$Y>0$$が求める条件となる。

（ⅱ）$X^2-1<0$ のとき、$b=f(a)$ は$ab$平面上で上に凸な放物線となる。$②$を考慮すると $f(a)=0$ は正の実数解を１つもつ。故に、任意の$Y$が適する。

（ⅲ）$X^2-1>0$ のとき、$b=f(a)$ は$ab$平面上で下に凸な放物線となる。このとき$$\small f(a)=\left(X^{2}-1\right)\left\{a-\frac{Y}{2\left(X^{2}-1\right)}\right\}^{2}-\frac{Y^{2}}{4\left(X^{2}-1\right)}+\frac{1}{4}$$と変形する。$②$を考慮すると、軸について$$\frac{Y}{2\left(X^{2}-1\right)}>0 \quad \cdots ③$$が成り立つことが必要である。また、頂点について$$-\frac{Y^{2}}{4\left(X^{2}-1\right)}+\frac{1}{4} \leqq 0 \quad \cdots ④$$となることが必要である。

$X^2-1>0$ のとき、$③$かつ$④$は

$Y>0$ かつ $X^2-Y^2 \leqq 1$

と同値である。

以上（ⅰ）～（ⅲ）の結果から、放物線$C$の通過する領域は以下の斜線部のようになる。ただし、境界線は $y = \sqrt{x^{2}-1}$（$y>0$）の部分のみ含む。