【順像法と逆像法②】放物線の掃過領域（東京大学2015年）

順像法による解答例

与式を$$\begin{array}{rl}y& =a{x}^2+{\displaystyle \frac{1-4a^2}{4a}}\\ & =a{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4a}}-a\\ & =(x^2-1)a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\end{array}$$と変形する。ここで、$x=t$（$t$は定数）と置いて$x$を固定すると、そのときの$y$の値が取り得る範囲は$a$の関数$$f(a)=(t^2-1)a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$$の値域に等しい。以下、係数 $t^2-1$ の正負で場合分けを行い、関数$f(a)$の値域を調べる。

また、$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)& =t^2-1-\frac{1}{4a^2}\\ & =\frac{4(t^2-1)a^2-1}{4a^2}\end{array}$$であることに注意する。

（ⅰ）$t^2-1\leqq 0$ のとき、$f^{\prime }(a)<0$ となるから $f(a)$ は単調減少である。$${\displaystyle \underset{a\to +0}{lim}f(a)=\mathrm{\infty }}$$および$${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a)=\{\begin{array}{cc}0& (t^2-1=0)\\ -\mathrm{\infty }& (t^2-1<0)\end{array}}$$となるから、$y$の値域は$$\{\begin{array}{l}k=\pm 1\text{ のとき、}0<y\\ -1<k<1\text{ のとき、}y\text{ は任意の実数 }\end{array}$$となる。

（ⅱ）$t^2-1>0$ のとき、導関数$f^{\prime }(a)$は$$f^{\prime }(a)={\displaystyle \frac{4(t^2-1)}{4a^2}}(a-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t^2-1}}})(a+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t^2-1}}})$$となり、増減表は次のようになる。$$\begin{array}{|ccccc|}\hline a& (0)& \cdots & {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t^2-1}}}& \cdots \\ f^{\prime }(a)& & –& 0& +\\ f(a)& (\mathrm{\infty })& <img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2198.svg">& \sqrt{t^2-1}& <img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2197.svg">\\ \hline\end{array}$$ ${\displaystyle \underset{a\to +0}{lim}f(a)=\mathrm{\infty }}$ および ${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a)=\mathrm{\infty }}$ を合わせると、$y$の値域は$$y\geqq \sqrt{t^2-1}$$となる。

以上（ⅰ）と（ⅱ）の結果から、放物線$C$の通過する領域は以下の斜線部のようになる。ただし、境界線は $y=\sqrt{x^2-1}$（$y>0$）の部分のみ含む。

逆像法による解答例

放物線$C$の方程式は$$y=a{x}^2+{\displaystyle \frac{1-4a^2}{4a}}$$ $$\therefore (x^2-1)a^2-ya+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$$と変形できる。これより、$C$が点$(X,Y)$を通過するような実数$a$が存在するための条件は、$a$に関する方程式$$(X^2-1)a^2-Ya+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0\cdots \mathrm{①}$$が正の実数解$a$を少なくとも１つもつ条件に一致する。

以下、$f(a)=(X^2-1)a^2-Ya+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ と置いて方程式$\mathrm{①}$が正の実数解をもつ条件を調べる。なお、$$f(0)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdots \mathrm{②}$$であることに注意する。

（ⅰ）$X^2-1=0$、即ち $X=\pm 1$ のとき、$$f(a)=-Ya+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ となるから、このとき $f(a)=0$ が正の実数解をもつためには傾き $-Y$ が負でなければならない。したがって、$$Y>0$$が求める条件となる。

（ⅱ）$X^2-1<0$ のとき、$b=f(a)$ は$ab$平面上で上に凸な放物線となる。$\mathrm{②}$を考慮すると $f(a)=0$ は正の実数解を１つもつ。故に、任意の$Y$が適する。

（ⅲ）$X^2-1>0$ のとき、$b=f(a)$ は$ab$平面上で下に凸な放物線となる。このとき$$f(a)=(X^2-1){\{a-\frac{Y}{2(X^2-1)}\}}^2-\frac{Y^2}{4(X^2-1)}+\frac{1}{4}$$と変形する。$\mathrm{②}$を考慮すると、軸について$$\frac{Y}{2(X^2-1)}>0\cdots \mathrm{③}$$が成り立つことが必要である。また、頂点について$$-\frac{Y^2}{4(X^2-1)}+\frac{1}{4}\leqq 0\cdots \mathrm{④}$$となることが必要である。

$X^2-1>0$ のとき、$\mathrm{③}$かつ$\mathrm{④}$は

$Y>0$ かつ $X^2-Y^2\leqq 1$

と同値である。

以上（ⅰ）～（ⅲ）の結果から、放物線$C$の通過する領域は以下の斜線部のようになる。ただし、境界線は $y=\sqrt{x^2-1}$（$y>0$）の部分のみ含む。