べき乗／階乗の無限級数の性質③

べき乗が階乗で割られた形の無限級数をまとめます。これまでに扱ってきた数列群を、母関数を用いて高い視点から眺めてみます。

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 前回までのおさらい

前回までは、ベル数$B_n$を用いて任意の非負整数$n$に対して$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+1{)}^n}{k!}}=B_{n+1}e$$という公式が成り立つことを確認しました。また、${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-1{)}^n}{k!}}}$ がどんな値になるのかについて調べました。今回はこれをさらに一般化し、$j$ を整数として ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+j{)}^n}{k!}}}$ の値について調べてみます。

 

 さらなる一般化

$n=0$ のときは $S_j(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+j{)}^n}{k!}}}$ は常に $e$ となるので以下では省略します。

まず、

$S_0(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+0{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_0(n)}{e}}& 1& 2& 5& 15& 52& 203& 877& 4140& 21147& 115975\\ \hline\end{array}$$

$S_1(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+1{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_1(n)}{e}}& 2& 5& 15& 52& 203& 877& 4140& 21147& 115975& 678570\\ \hline\end{array}$$となっており、$S_0(n+1)=S_1(n)$ が成り立っていることが観察できますが、このことは$$\begin{array}{rl}{S}_0(n+1)& ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{k^{n+1}}{k!}}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{k^n}{(k-1)!}}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+1{)}^n}{k!}}}\\ & =S_1(n)\end{array}$$という式変形によって納得できます。

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$j$ を大きくしてみます。

$S_2(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+2{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_2(n)}{e}}& 3& 10& 37& 151& 674& 3263& 17007& 94828& 562595& 3535027\\ \hline\end{array}$$

$S_3(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+3{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_3(n)}{e}}& 4& 17& 77& 372& 1915& 10481& 60814& 372939& 2409837& 16360786\\ \hline\end{array}$$

$S_4(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+4{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_4(n)}{e}}& 5& 26& 141& 799& 4736& 29371& 190497& 1291020& 9131275& 67310847\\ \hline\end{array}$$

$S_5(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+5{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_5(n)}{e}}& 6& 37& 235& 1540& 10427& 73013\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_5(n)}{e}}& 529032& 3967195& 30785747& 247126450\\ \hline\end{array}$$

$S_6(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+6{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_6(n)}{e}}& 7& 50& 365& 2727& 20878& 163967\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_6(n)}{e}}& 1322035& 10949772& 93197715& 815305195\\ \hline\end{array}$$

$S_7(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+7{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_7(n)}{e}}& 8& 65& 537& 4516& 38699& 338233\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_7(n)}{e}}& 3017562& 27499083& 256118905& 2438979402\\ \hline\end{array}$$

$S_8(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+8{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_8(n)}{e}}& 9& 82& 757& 7087& 67340& 649931\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_8(n)}{e}}& 6376149& 63625324& 646147067& 6681531511\\ \hline\end{array}$$

$S_9(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+9{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_9(n)}{e}}& 10& 101& 1031& 10644& 111211& 1176701\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_9(n)}{e}}& 12616132& 137144475& 1512354975& 16926317722\\ \hline\end{array}$$

$S_{10}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+10{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_{10}(n)}{e}}& 11& 122& 1365& 15415& 175802& 2025823\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{10}(n)}{e}}& 23599287& 278054700& 3315122947& 40012800675\\ \hline\end{array}$$

ここから面白いことが分かります。$${\displaystyle \frac{S_j(1)}{e}}=j+1$$と表せたり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{S_j(2)}{e}}& =(j+1{)}^2+1\\ & =j^2+2j+2\end{array}$$であったり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{S_j(3)}{e}}& =(j+1{)}^3+3(j+1)+1\\ & =j^3+3j^2+6j+5\end{array}$$となることなどが推測できます。

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今度は逆に $j$ を小さくしてみます。

$S_{-1}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-1{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-1}(n)}{e}}& 0& 1& 1& 4& 11& 41& 162& 715& 3425& 17722\\ \hline\end{array}$$

$S_{-2}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-2{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-2}(n)}{e}}& -1& 2& -3& 7& -10& 31& -21& 204& 307& 2811\\ \hline\end{array}$$

$S_{-3}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-3{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-3}(n)}{e}}& -2& 5& -13& 36& -101& 293& -848& 2523& -7365& 22402\\ \hline\end{array}$$

$S_{-4}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-4{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-4}(n)}{e}}& -3& 10& -35& 127& -472& 1787& -6855& 26572& -103765& 407695\\ \hline\end{array}$$

$S_{-5}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-5{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_{-5}(n)}{e}}& -4& 17& -75& 340& -1573& 7393\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-5}(n)}{e}}& -35178& 169035& -818603& 3989250\\ \hline\end{array}$$

$S_{-6}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-6{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_{-6}(n)}{e}}& -5& 26& -139& 759& -4214& 23711\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-6}(n)}{e}}& -134873& 774060& -4475325& 26033347\\ \hline\end{array}$$

$S_{-7}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-7{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_{-7}(n)}{e}}& -6& 37& -233& 1492& -9685& 63581\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-7}(n)}{e}}& -421356& 2814619& -18928273& 128022586\\ \hline\end{array}$$

$S_{-8}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-8{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_{-8}(n)}{e}}& -7& 50& -363& 2671& -19876& 149323\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-8}(n)}{e}}& -1131003& 8626668& -66198725& 510661527\\ \hline\end{array}$$

$S_{-9}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-9{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_{-9}(n)}{e}}& -8& 65& -535& 4452& -37397& 316697\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-9}(n)}{e}}& -2700950& 23177547& -199971255& 1733542570\\ \hline\end{array}$$

$S_{-10}(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k-10{)}^n}{k!}}}$ $$\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ {\displaystyle \frac{S_{-10}(n)}{e}}& -9& 82& -755& 7015& -65698& 619583\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 7& 8& 9& 10\\ {\displaystyle \frac{S_{-10}(n)}{e}}& -5879133& 56090380& -537726253& 5177291275\\ \hline\end{array}$$

以上の表を眺めると $j$ が負のときでも$${\displaystyle \frac{S_j(1)}{e}}=j+1$$ $${\displaystyle \frac{S_j(2)}{e}}=j^2+2j+2$$ $${\displaystyle \frac{S_j(3)}{e}}=j^3+3j^2+6j+5$$などが成立しています。これらの予想は母関数を考えれば上手く説明できそうです。

 

 母関数によるアプローチ

全部のパターンについてやっているとキリが無いので、ここでは例として任意の整数 $j$ について$${\displaystyle \frac{S_j(2)}{e}}=j^2+2j+2$$と表せることを母関数を用いて確認してみます。$S_j(2)$ というのは要するに ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+j{)}^2}{k!}}}$ のことでした。毎度お馴染みの $e^x$ のマクローリン展開から出発します。

まず$$e^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$$に対して $x^j$ を掛けます。$$x^j{e}^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^{k+j}}{k!}}$$この両辺を $x$ で微分すると、$$(j+x)x^{j-1}{e}^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{k+j}{k!}}{x}^{k+j-1}$$を得ます。これにさらに $x$ を掛けると$$(j+x)x^j{e}^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{k+j}{k!}}{x}^{k+j}$$となるので、再び微分すると、$$(j^2+2jx+x^2+x)x^{j-1}{e}^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+j{)}^2}{k!}}{x}^{k+j-1}$$という式が得られます。右辺の累乗の次数を合わせるために両辺に $x^{-j+1}$ を掛けて$$(j^2+2jx+x^2+x)e^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+j{)}^2}{k!}}{x}^k\cdots (\ast )$$という式を得ます。

最後の式に対して $x=1$ とすると$$(j^2+2j+2)e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(k+j{)}^2}{k!}}$$という値が得られ、$${\displaystyle \frac{S_j(2)}{e}}=j^2+2j+2$$が分かります。因みに、これは「べき乗／階乗の無限級数の性質①」の導入で登場した数列（$j=1$ のときに相当）の一般化バージョンになっています。

この手順を繰り返せば原理的には無限の$n$について $S_j(n)$ が求められます。また、微分と$x$を掛ける操作を繰り返しているだけなので ${\displaystyle \frac{S_j(n)}{e}}$ が $j$ の $n$ 次式として表せることが理解できます。

 

 積分漸化式で一般項を導く

それにしても、$S_j(n)$ を一発で求められればとても楽チンなのですが、そのような便利な公式が存在するのかについては管理人は寡聞にして知りません。ですが、次の漸化式が成り立ちそうだということは何とか自力で見出しました。$${\displaystyle \frac{S_j(n+1)}{e}}=(n+1){\int }_0^j{\displaystyle \frac{S_j(n)}{e}}dj+B_{n+1}$$ここで $B_n$ は $n$ 番目のベル数で、以下の表に示すような値をとります。$$\begin{array}{|ccccccccc|}\hline n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ B_n& 1& 1& 2& 5& 15& 52& 203& 877\\ \hline\end{array}$$

これまで $S_j(n)$ は力づくで求めてきましたが、この積分漸化式を用いれば機械的な計算処理で次々と $S_j(n)$ を求めることができそうです。

厳密には証明していませんが、一応$$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{S_j(0)}{e}}=1\\ {\displaystyle \frac{S_j(1)}{e}}=j+1\\ {\displaystyle \frac{S_j(2)}{e}}=j^2+2j+2\\ {\displaystyle \frac{S_j(3)}{e}}=j^3+3j^2+6j+5\\ {\displaystyle \frac{S_j(4)}{e}}=j^4+4j^3+12j^2+20j+15\\ {\displaystyle \frac{S_j(5)}{e}}=j^5+5j^4+20j^3+50j^2+75j+52\\ {\displaystyle \frac{S_j(6)}{e}}=j^6+6j^5+30j^4+100j^3+225j^2+312j+203\end{array}$$となることを確認しているので、恐らくすべての$n$について上記の積分漸化式は正しい和を与えると予想されます。

微分型の漸化式に翻訳すると$$S_j(n)={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{d}{dj}}{S}_j(n+1)$$となります。こちらの方が検算しやすいでしょうか。

いずれにしても証明は面倒そうなのでサボります。時間のある方は取り組んでみて下さい･･･。

 

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