カタラン数が素数になる条件（2021年東京工業大学前期数学第3問）

解答例

 

以下、二項係数が整数であることは既知として解答する。

 

（１）

$$\begin{array}{rl}n{}_{2n}{\mathrm{C}}_n& =n\cdot {\displaystyle \frac{(2n)!}{n!\cdot n!}}\\ & =(n+1)\cdot {\displaystyle \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}}\\ & =(n+1)\cdot {\displaystyle \frac{(2n)!}{\{2n-(n-1)\}!(n-1)!}}\\ & =(n+1){}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-1}\end{array}$$となるので成り立つ。これと、$n$と$n+1$は互いに素であることから、$n+1$は${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$を割り切る。即ち${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$は $n+1$ の倍数である。

□

 

 

（２）

命題 $(\ast )$「$n\geqq 4$ ならば $a_n>n+2$ である」を数学的帰納法によって示す。

 

$n=4$ のとき$$a_4={\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_4}{5}}=14>4+2$$となるから、$a_n>n+2$ が成り立つ。

 

$n=k$（$k$は$4$より大きい整数）のとき $a_k>k+2$ が成立していると仮定する。このとき$$\begin{array}{rl}{a}_{k+1}& ={\displaystyle \frac{{}_{2k+2}{\mathrm{C}}_{k+1}}{k+2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2k+2)!}{(k+2)(k+1)!(k+1)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2k+2)(2k+1)}{(k+2)(k+1)}}\cdot {\displaystyle \frac{(2k)!}{(k+1)k!k!}}\\ & ={\displaystyle \frac{4k+2}{k+2}}{a}_k\\ & >{\displaystyle \frac{4k+2}{k+2}}\cdot (k+2)(\because \text{仮定})\\ & =4k+2\\ & >(k+1)+2\end{array}$$となるので $n=k+1$ のときも成り立つ。

 

以上より、数学的帰納法から命題 $(\ast )$ の成立が示された。

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（３）

$a_1=1$ となり素数でないので $n=1$ は不適。$a_2=2$、$a_3=5$ は素数となるので $n=2,3$ は求める正の整数$n$である。

 

以下、$n\geqq 4$ のときを考える。

 

（２）の途中式より$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2(2n+1)}{n+2}}{a}_n$$となる。（１）より${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$は $n+1$ の倍数であるから$a_n$は任意の正の整数$n$について整数である。よって $n+2$ は $2$、$2n+1$、$a_n$のいずれかを割り切ることが必要である。

 

$n$が正の整数のとき $n+2$ が$2$を割り切ることは無い。また、$$\begin{array}{rl}(2n+1)-(n+2)& =n-1\\ & =(n+2)-3\end{array}$$より、$2n+1$ が $n+2$ で割り切れるときは$3$も $n+2$ で割り切れる必要があるが、$n\geqq 4$ のときこれは不可能。

 

よって$a_n$は $n+2$ で割り切れることが必要である。また、（２）の結論より $n\geqq 4$ のとき $a_n>n+2$ となるから、ある整数$N$ $(>1)$ を用いて$$a_n=(n+2)\cdot N$$と表される。したがって、$n\geqq 4$ のとき$a_n$は素数にならない。

 

以上より、求める正の整数は$$n=2,3$$である。