ルート2のルート2乗のルート2乗（2020年横浜市立大学前期理系数学第2問）

難しい問題ではありませんがユニークな問題でした。これに関連して、高校数学の範囲を超えますが「ゲルフォント＝シュナイダーの定理」を紹介しておきます。これは以下のような主張です。

「$\alpha$を$0,1$以外の代数的数、$\beta$を有理数ではない代数的数としたとき、${\alpha }^{\beta }$は超越数である」

有理数係数からなる0でない多項式の根となる複素数を「代数的数」と言い、代数的数でない数を「超越数」と呼びます。この定理により、${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\approx 1.63\dots$ は無理数（特にこの場合は超越数）であることが言えます。

無理数の無理数乗は必ずしも無理数にはならない例が本問の背景になっています。因みに、$1^{\sqrt{2}}$の例のように有理数の無理数乗も無理数とは限りません。

本問の類題として、1986年の阪大前期理系数学第1問があります。こちらの問題では${\log }_{3}4$が無理数であることを証明させる誘導設問が付いています。これより、$(\sqrt{3},{\log }_{3}4)$は無理数の無理数乗が有理数となる例の一つとして与えられます。

今回扱った横市の問題では${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$が有理数か無理数か分からなくても証明できてしまう点がやや目新しいところかと思います。

余談ですが${{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}^{\sqrt{2}}$と${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$は異なる値を取ります。括弧の有無で指数計算の順序が変わるためです（分かりにくい場合は${{10}^3}^3$と$({10}^3{)}^3$を比べてみましょう）。前者は「ルート2のルート2のルート2乗乗」、後者は「ルート2のルート2乗のルート2乗」と読みます。