三角形の回転体の体積の最大値（2020年大阪大学前期理系数学第5問）

解答例

 

（１）

$\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{a}{2}},0)$、$\mathrm{C}({\displaystyle \frac{a}{2}},0)$ となるように座標軸をとる。$b$の値を変化させると頂点$\mathrm{A}$は$$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=2-a$$を満たしながら動くから、点$\mathrm{A}$の描く軌跡は$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$を焦点とする長軸の長さが $2-a$ であるような楕円（軸上の2点を除く）である。

 

 

点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし、$\mathrm{H}(x,0)$とする。このとき $-1+{\displaystyle \frac{a}{2}}<x<1-{\displaystyle \frac{a}{2}}$ が成り立つ。

 

（ⅰ）$-1+{\displaystyle \frac{a}{2}}<x\leqq -{\displaystyle \frac{a}{2}}$のとき、
$$\begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\mathrm{AH}}^2({\displaystyle \frac{a}{2}}-x)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\mathrm{AH}}^2(-{\displaystyle \frac{a}{2}}-x)\\ & ={\displaystyle \frac{\pi a}{3}}{\mathrm{AH}}^2\end{array}$$となる。

 

（ⅱ）$-{\displaystyle \frac{a}{2}}<x<{\displaystyle \frac{a}{2}}$のとき、
$$\begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\mathrm{AH}}^2({\displaystyle \frac{a}{2}}-x)+{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\mathrm{AH}}^2(x+{\displaystyle \frac{a}{2}})\\ & ={\displaystyle \frac{\pi a}{3}}{\mathrm{AH}}^2\end{array}$$となる。

 

（ⅲ）${\displaystyle \frac{a}{2}}\leqq x<1-{\displaystyle \frac{a}{2}}$のとき、
$$\begin{array}{rl}V& =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\mathrm{AH}}^2(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})+{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\mathrm{AH}}^2(x+{\displaystyle \frac{a}{2}})\\ & ={\displaystyle \frac{\pi a}{3}}{\mathrm{AH}}^2\end{array}$$となる。

 

（ⅰ）～（ⅲ）より、いずれの場合でも$$V={\displaystyle \frac{\pi a}{3}}{\mathrm{AH}}^2$$と表せることが分かる。

 

したがって$V$が最大となるのは垂線$\mathrm{AH}$が最大となるときであるから、これは点$\mathrm{A}$が$\mathrm{BC}$の垂直二等分線上にくるとき、つまり三角形$\mathrm{ABC}$が辺$\mathrm{BC}$を底辺とする二等辺三角形となるときである。

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（２）

（１）より、$V$が最大となるのは三角形$\mathrm{ABC}$が辺$\mathrm{BC}$を底辺とする二等辺三角形となるときである。このとき$$a+2b=2$$となり、三平方の定理より$${\mathrm{AH}}^2={(1-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2=1-a$$となるから、$$\begin{array}{rl}V& \leqq {\displaystyle \frac{\pi a}{3}}(1-a)\\ & =-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}{(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{\pi }{12}}\\ & \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{12}}(\text{等号成立は }a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ のとき})\end{array}$$となる。

以上より、$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$、$b={\displaystyle \frac{3}{4}}$ のとき、$V$は最大値 ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ をとる。