創作整数問題#81解法＆創作整数問題#82

解答例

以下、合同式の法は特に断りの無い限り$81$とする。${10}^n$（$n$は非負整数）を$81$で割った余りを調べると以下のようになる。$$\begin{array}{l}\begin{array}{ccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ {10}^n& 1& 10& 19& 28& 37& 46\end{array}\\ \begin{array}{ccccc}n& 6& 7& 8& 9\\ {10}^n& 55& 64& 73& 82(\equiv 1)\end{array}\end{array}$$以下、求める整数を$N$と表す。

$N$の桁数を $n+1$ として、$1$桁の非負整数$a_i(i=0,1,2,\cdots ,n)$を用いて$$N=a_0+10a_1+{10}^2{a}_2+\cdots +{10}^n{a}_n$$と表すことにする。ただし $a_n\ne 0$ とする。このとき$N$の逆順数$\hat{N}$は$$\hat{N}=a_n+10a_{n-1}+{10}^2{a}_{n-2}+\cdots +{10}^n{a}_0$$となる。

$n=0,1$ のとき$N$と$\hat{N}$がともに$81$で割り切れることはない。

$n=2$ のとき、剰余表より、$$N\equiv a_0+10a_1+19a_2$$ $$\hat{N}\equiv a_2+10a_1+19a_0$$となり、辺々加えると$$\begin{array}{rl}N+\hat{N}& \equiv 20a_0+20a_1+20a_2\\ & =20(a_0+a_1+a_2)\end{array}$$を得る。仮定より $N+\hat{N}$ は$81$の倍数であるが、$20$と$81$は互いに素だから $a_0+a_1+a_2$ が$81$で割り切れることが必要となる。しかし $a_2\ne 0$ のもとで$1$桁の非負整数 $a_i(i=0,1,2)$ の和が$81$の倍数になることはない。

$n=3$ のとき、剰余表より、$$N\equiv a_0+10a_1+19a_2+28a_3$$ $$\hat{N}\equiv a_3+10a_2+19a_1+28a_0$$となり、辺々加えると$$N+\hat{N}\equiv 29(a_0+a_1+a_2+a_3)$$を得る。よって同様に $a_0+a_1+a_2+a_3$ が$81$で割り切れることが必要であるが、そのような係数$a_i$の組は存在せず、これは不可能である。

$n=4$ のとき、剰余表より、$$N+\hat{N}\equiv 38\sum _{k=0}^4{a}_k$$を得るが、同様に考えてこの右辺が$81$の倍数になることはない。

$n=5$ のとき ${\displaystyle N+\hat{N}\equiv 47\sum _{k=0}^5{a}_k}$、$n=6$ のとき ${\displaystyle N+\hat{N}\equiv 56\sum _{k=0}^6{a}_k}$、$n=7$ のとき ${\displaystyle N+\hat{N}\equiv 65\sum _{k=0}^7{a}_k}$ となるが、いずれの場合も右辺が$81$の倍数になることはない。

$n=8$ のとき ${\displaystyle N+\hat{N}\equiv 74\sum _{k=0}^8{a}_k}$ となるが、$a_0$、$a_1$、･･･、$a_8$のすべてが$9$のとき右辺は$81$の倍数になる。また、右辺が$81$の倍数となるのはその場合に限る。

以上より、自身とその逆順数がともに$81$で割り切れるような最小の正の整数は$$999999999$$と求められる。