創作整数問題#81解法＆創作整数問題#82

解答例

以下、合同式の法は特に断りの無い限り$81$とする。$10^{n}$（$n$は非負整数）を$81$で割った余りを調べると以下のようになる。$$\small \begin{array}{l} \begin{array}{c|cccccc}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline 10^{n} & 1 & 10 & 19 & 28 & 37 & 46
\end{array} \\ \begin{array}{c|cccc}
n & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline 10^{n} & 55 & 64 & 73 & 82\,(\equiv 1) \end{array}
\end{array}$$以下、求める整数を$N$と表す。

$N$の桁数を $n+1$ として、$1$桁の非負整数$a_i\ (i=0,1,2,\cdots,n)$を用いて$$\small N=a_0+10a_1+10^2 a_2+\cdots+10^n a_n$$と表すことにする。ただし $a_n \ne 0$ とする。このとき$N$の逆順数$\hat{N}$は$$\small \hat{N}=a_{n}+10a_{n-1}+10^2 a_{n-2}+\cdots+10^n a_0$$となる。

$n=0,\,1$ のとき$N$と$\hat{N}$がともに$81$で割り切れることはない。

$n=2$ のとき、剰余表より、$$\small N \equiv a_0+10a_1+19 a_2$$ $$\small \hat{N} \equiv a_2+10a_1+19 a_0$$となり、辺々加えると$$\begin{align} \small N+\hat{N} & \equiv 20a_0+20a_1+20a_2 \\ &=20(a_0+a_1+a_2)\end{align}$$を得る。仮定より $N+\hat{N}$ は$81$の倍数であるが、$20$と$81$は互いに素だから $a_0+a_1+a_2$ が$81$で割り切れることが必要となる。しかし $a_2 \ne 0$ のもとで$1$桁の非負整数 $a_i\ (i=0,1,2)$ の和が$81$の倍数になることはない。

$n=3$ のとき、剰余表より、$$\small N \equiv a_0+10a_1+19a_2+28a_3$$ $$\small \hat{N} \equiv a_3+10a_2+19a_1+28a_0$$となり、辺々加えると$$\small N+\hat{N} \equiv 29(a_0+a_1+a_2+a_3)$$を得る。よって同様に $a_0+a_1+a_2+a_3$ が$81$で割り切れることが必要であるが、そのような係数$a_i$の組は存在せず、これは不可能である。

$n=4$ のとき、剰余表より、$$\small N+\hat{N} \equiv 38 \sum^{4}_{k=0}a_k$$を得るが、同様に考えてこの右辺が$81$の倍数になることはない。

$n=5$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 47 \sum^{5}_{k=0}a_k$、$n=6$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 56 \sum^{6}_{k=0}a_k$、$n=7$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 65 \sum^{7}_{k=0}a_k$ となるが、いずれの場合も右辺が$81$の倍数になることはない。

$n=8$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 74 \sum^{8}_{k=0}a_k$ となるが、$a_0$、$a_1$、･･･、$a_8$のすべてが$9$のとき右辺は$81$の倍数になる。また、右辺が$81$の倍数となるのはその場合に限る。

以上より、自身とその逆順数がともに$81$で割り切れるような最小の正の整数は$$\color{red}{999999999}$$と求められる。