このところ全国各地で局所的な大雨が多発していますが、そろそろ梅雨明けの兆しも見えてきました。管理人は日頃の運動不足が祟り、本格的な夏を前にスタミナ切れしそうです…(笑)
世間を見渡せば、コロナ禍が収束していない中での五輪開催が目前に迫っており、近年稀に見るごたごたが繰り広げられています。ワクチン接種が進んでいるとはいえ、このところワクチン供給が滞っている上に、ギリシャ文字の不足が心配される勢いで変異株が猛威を振るっており、新型コロナウイルスによる影響のさらなる長期化は避けられそうにありません。残念ですが、落ち着いた日常が戻ってくるまで今しばらく掛かりそうです。
創作整数問題#82
《問題#82》
が整数となるような正の整数組をすべて求めよ。
(創作問題)
が整数となるにはがの冪乗になっていることが必要ですが、このことの証明は簡単ですね。その後は場合分けして整数組を求めればOKです。
創作整数問題#81(解き方)
元の整数と逆順数の和に着目します。これによって統一的な倍数判定が可能となり、必要条件から攻略できます。
解答例
以下、合同式の法は特に断りの無い限りとする。(は非負整数)をで割った余りを調べると以下のようになる。以下、求める整数をと表す。
の桁数を として、桁の非負整数を用いてと表すことにする。ただし とする。このときの逆順数はとなる。
のときとがともにで割り切れることはない。
のとき、剰余表より、 となり、辺々加えるとを得る。仮定より はの倍数であるが、とは互いに素だから がで割り切れることが必要となる。しかし のもとで桁の非負整数 の和がの倍数になることはない。
のとき、剰余表より、 となり、辺々加えるとを得る。よって同様に がで割り切れることが必要であるが、そのような係数の組は存在せず、これは不可能である。
のとき、剰余表より、を得るが、同様に考えてこの右辺がの倍数になることはない。
のとき 、 のとき 、 のとき となるが、いずれの場合も右辺がの倍数になることはない。
のとき となるが、、、・・・、のすべてがのとき右辺はの倍数になる。また、右辺がの倍数となるのはその場合に限る。
以上より、自身とその逆順数がともにで割り切れるような最小の正の整数はと求められる。
元の数と逆順数をペアにして考えるというのが本問のポイントでした。各位の数字の和が であるような整数が当てはまることを考えると、 桁の整数 が最小であることが分かりますね。別解もお待ちしています。
因みに、自身とその逆順数がともに で割り切れるような正の整数のうちで2番目に小さいものは です。このような整数のうち 桁のものは 個存在しています。