創作整数問題#83解法＆創作整数問題#84

解答例

（１）

$10$と素数$p$は互いに素であるからフェルマーの小定理より$$10^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod{p} \quad \cdots ①$$が成り立つ。また、$\dfrac{1}{p}$の循環節の長さを$\ell$とすると、循環節の定義より$$10^{\ell}-1 \equiv 0 \pmod{p} \quad \cdots ②$$が成り立つ。

ここで $\ell$ が $p-1$ の約数でないと仮定する。このとき $q \geqq 0$、$0 < r < \ell$ を満たす整数$q$、$r$が存在して $p-1=q\ell+r$ と置けるから、$$\small \begin{aligned}
& \quad \ 10^{p-1}-1 \\
&=10^{q \ell+r}-1 \\
&=10^{q \ell} \cdot 10^{r}-10^{r}+10^{r}-1 \\
&=\left(10^{q \ell}-1\right) 10^{r}+10^{r}-1 \\
&=\left\{(10^{\ell})^{q}-1\right\} 10^{r}+10^{r}-1 \\
&=(10^{\ell}-1)\left\{(10^{\ell})^{q-1}+(10^{\ell})^{q-2}+\cdots+1\right\} 10^{r}+10^{r}-1
\end{aligned}$$と式変形できるが、これと$①$、$②$より$$10^{r}-1 \equiv 0 \pmod{p}$$が導かれる。これより$r$は$\dfrac{1}{p}$の循環節の長さとなるが、$r<\ell$ であるからこれは$\ell$の最小性に反し不合理である。

よって背理法より、$\ell$ は $p-1$ の約数であることが示された。

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（２）

（１）より、$\dfrac{1}{83}$の循環節の長さとなり得るのは$82$の約数、つまり$1$、$2$、$41$、$82$のいずれかに限られる。

$$\begin{aligned}
10^{1} & \equiv 10 \pmod{83} \\
10^{2} & \equiv 17 \pmod{83}_{ } \\
10^{4} & \equiv 17^{2} \equiv 40 \pmod{83} \\
10^{8} & \equiv 40^{2} \equiv 23 \pmod{83} \\
10^{16} & \equiv 23^{2} \equiv 31 \pmod{83} \\
10^{32} & \equiv 31^{2} \equiv 48 \pmod{83} \\
10^{41} &=10^{32} \cdot 10^{8} \cdot 10^{1} \\
& \equiv 48 \cdot 23 \cdot 10 \equiv 1 \pmod{83}
\end{aligned}$$

となるから、$\dfrac{1}{83}$の循環節の長さは $\color{red}{41}$ と求められる。

（３）

（２）より $10^{41}=83N+1$ を満たすような整数$N$が存在する。この両辺に$80$を乗じて$$80 \cdot 10^{41}=83 \cdot 80 \cdot N+80$$さらに両辺に$3$を加えると$$\therefore 8 \cdot 10^{42}+3=83 \cdot 80 \cdot N+83$$となる。この右辺は$83$の倍数であるから、求める整数の一つは$$\color{red}{8\underbrace{00 \ldots 00}_{41\text{個}}3}$$である。