創作整数問題#89解法＆創作整数問題#90

解答例

求める最小の素数を$p$とし、$$\dfrac{m^3+n^3}{89}=p \quad \cdots (*)$$と置く。$(*)$式の対称性より $m \leqq n$ と仮定しても一般性を損なわないから、以下 $m \leqq n$ とする。

$(*)$式は$$(m+n)\left(m^2-m n+n^2\right)=89 \times p \quad \cdots ①$$と書き直せる。$m=n=1$ は$①$を明らかに満たさないから少なくとも $n \geqq 2$ であり、$m+n \geqq 2$ および $m^2-m n+n^2 \geqq 2$ となる。これと、$89$と$p$が素数であることから、$$\left\{\begin{array}{l}m+n=p \\ m^2-m n+n^2=89\end{array}\right.$$または$$\left\{\begin{array}{l}m+n=89 \\ m^2-m n+n^2=p\end{array}\right.$$の2通りの場合が考えられる。

ここで $m^2-m n+n^2=89$ と仮定する。この式は$$(m+n)^2=3(29+m n) + 2 \quad \cdots ②$$と書き直せるが、$②$の左辺は平方数、右辺は$3$で割った余りが$2$の整数である。しかし一般に平方数を$3$で割った余りは$0$か$1$に限られるため、$②$を満たすような整数$m$、$n$の組は存在しない。よって、$$\left\{\begin{array}{l}m+n=89 \quad \cdots ③ \\ m^2-m n+n^2=p \quad \cdots ④ \end{array}\right.$$の場合に限られる。

$③$より $n=89-m$ を$④$に代入して$$m^2-m(89-m)+(89-m)^2=p$$ $$\therefore 3 m^2-267 m+7921=p$$を得る。この左辺を$f(m)$と置いて$$f(m)=3\left(m-\dfrac{89}{2}\right)^2+\dfrac{7921}{4}$$とする。いま、$m \leqq n \ (=89-m)$ と仮定しているから $m \leqq \dfrac{89}{2}$ であり、$m \leqq 44$ の範囲で$f(m)$が素数となるような最大の正の整数$m$を求めればよい。$$\begin{aligned} f(44)&=1981=7 \cdot 283 \\ f(43)&=1987 \ (\leftarrow\text{素数}) \end{aligned}$$よって $(m,n)=(43,46)$ のとき$p$は素数となり、求める最小の素数は$$\color{red}{1987}$$である。