創作整数問題#92解法＆創作整数問題#93

（１）

任意の正の整数$n$について$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \quad \cdots ①$$かつ$$F_{n+1}>0, F_{n}>0 \quad \cdots ②$$が成り立つことを数学的帰納法により示す。

（A）$n=1$ のとき

$F_{3}=\dfrac{{F_{2}}^2+(-1)^{2}}{F_{1}}$ より、$F_3=\dfrac{1+1}{1}$、すなわち $F_3=2$ を得る。したがって、$F_3=F_2+F_1$ かつ $F_3>0$ となるから、$①$および$②$が成り立つ。

（B）$n=k$（$k=1,2,\cdots$）のとき

$F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}$ かつ $F_{k+1}>0, F_{k}>0$ が成り立つと仮定する。

$F_{n+2}=\dfrac{{F_{1+1}}^2+(-1)^{n+1}}{F_{n}}$ より$$F_{n+2}F_{n}={F_{n+1}}^2+(-1)^{n+1}$$と変形できるので、これに $n=k$、$n=k+1$ を代入して$$F_{k+2}F_{k}={F_{k+1}}^2+(-1)^{k+1} \\ F_{k+3}F_{k+1}={F_{k+2}}^2+(-1)^{k+2}$$
辺々加えて、順次式変形する。$$F_{k+2}F_{k}+F_{k+3}F_{k+1}={F_{k+1}}^2+{F_{k+2}}^2+(-1)^{k+1}+(-1)^{k+2}$$ $$\therefore F_{k+2}F_{k}+F_{k+3}F_{k+1}={F_{k+1}}^2+{F_{k+2}}^2$$ $$\therefore F_{k+3}F_{k+1}-{F_{k+1}}^2+F_{k+2}F_{k}-{F_{k+2}}^2=0$$ $$\therefore F_{k+1}(F_{k+3}-{F_{k+1}})+F_{k+2}(\underline{F_{k}-{F_{k+2}}})=0$$ $$\begin{aligned} \therefore F_{k+1}(F_{k+3}-{F_{k+1}})&+F_{k+2}(\underline{-{F_{k+1}}})=0 \\ & \quad (\because F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k})\end{aligned}$$ $$\therefore F_{k+1}(F_{k+3}-{F_{k+1}}-F_{k+2})=0$$いま、仮定より $F_{k+1}>0$ であるから$$F_{k+3}-{F_{k+1}}-F_{k+2}=0$$ $$\therefore F_{k+3}={F_{k+2}}+F_{k+1}$$が従う。仮定より、 $F_{k+1}>0$ かつ $F_{k}>0$ であるから $F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}>0$ が成り立つ。よって $n=k+1$ のときも$①$および$②$が成り立つ。

以上、（A）と（B）より、数学的帰納法により任意の正の整数$n$について$①$および$②$が成り立つことが示された。

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（２）

以下では（１）で示した結果を用いる。

（A）$n=2,3$ のとき、$$\begin{aligned} F_{m+2}&=F_{m} +F_{m+1} \\ &=F_{m}F_{1} +F_{m+1}F_{2} \end{aligned}$$および$$\begin{aligned} F_{m+3}&=F_{m+1} +F_{m+2} \\ &=F_{m}+2F_{m+1} \\ &=F_{m}F_{2} +F_{m+1}F_{3} \end{aligned}$$より、$(\ast)$が成り立つ。

（B）$n$が$k\,(\ge 2)$以下のとき$(\ast)$が成り立つと仮定する。
$$F_{m+k}=F_{m}F_{k-1} +F_{m+1}F_{k}$$ $$F_{m+(k-1)}=F_{m}F_{k-2} +F_{m+1}F_{k-1}$$これらの辺々を加えると、$$F_{m+k}+F_{m+(k-1)}=F_{m}F_{k-1} +F_{m+1}F_{k}+F_{m}F_{k-2} +F_{m+1}F_{k-1}$$ $$\therefore F_{m+(k+1)}=F_{m}(F_{k-1}+F_{k-2})+F_{m+1}(F_{k}+F_{k-1})$$ $$\therefore F_{m+(k+1)}=F_{m}F_{k}+F_{m+1}F_{k+1}$$が導かれる。これより、$n=k+1$ のときも$(\ast)$が成り立つ。

以上、（A）と（B）より、数学的帰納法により$2$以上の任意の正の整数$n$について$(\ast)$が成り立つことが示された。

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（３）

正の整数$n$がある正の整数$m$で割り切れるとき、$n=mp$（$p$は負でない整数）と置ける。ここで、$p$に関する数学的帰納法を用いる。

（A）$p=1$ のときは $n=m$ なので $F_{n}=F_{m}$ より、$F_{n}$は$F_{m}$で割り切れる。

（B）$p=k$（$k$は正の整数）のとき$F_{mk}$が$F_{m}$で割り切れると仮定する。（２）で示した$(\ast)$式より、$$\begin{aligned} F_{n}&=F_{m(k+1)} \\ &=F_{mk}F_{m-1} +F_{mk+1}F_{m} \end{aligned}$$となるが、仮定より$F_{mk}$は$F_{m}$で割り切れるから、$F_{n}$も$F_{m}$で割り切れる。これより、$p=k+1$ のときも$F_{mp}$が$F_{m}$で割り切れることが従う。

以上の議論は$m$が$n$の約数であるときにつねに成り立つから、（A）と（B）より、数学的帰納法により任意の正の整数$n$について、$n$がある正の整数$m$で割り切れるとき$F_{n}$が$F_{m}$で割り切れることが示された。

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（４）

$F_{n+2}=\dfrac{{F_{n+1}}^2+(-1)^{n+1}}{F_{n}}$より、$${F_{n+1}}^2=F_{n+2}F_{n}-(-1)^{n+1}$$と式変形できる。これに $n=2022$ を代入して、$$\begin{aligned} (F_{2023})^2 &=F_{2024}F_{2022}-(-1)^{2023} \\ &=F_{2024}F_{2022}+1 \end{aligned}$$を得る。ここで、$F_{11}=89$ であること、および、$2024=11 \times 184$ であることに着目すると、（３）の結果より$F_{2024}$は$F_{11}$、すなわち$89$で割り切れる。

よって、$(F_{2023})^2$を$89$で割ったときの余りは$$\color{red}{1}$$である。