創作整数問題#92解法＆創作整数問題#93

（１）

任意の正の整数$n$について$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\cdots \mathrm{①}$$かつ$$F_{n+1}>0,F_n>0\cdots \mathrm{②}$$が成り立つことを数学的帰納法により示す。

（A）$n=1$ のとき

$F_3={\displaystyle \frac{{F_2}^2+(-1{)}^2}{F_1}}$ より、$F_3={\displaystyle \frac{1+1}{1}}$、すなわち $F_3=2$ を得る。したがって、$F_3=F_2+F_1$ かつ $F_3>0$ となるから、$\mathrm{①}$および$\mathrm{②}$が成り立つ。

（B）$n=k$（$k=1,2,\cdots$）のとき

$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$ かつ $F_{k+1}>0,F_k>0$ が成り立つと仮定する。

$F_{n+2}={\displaystyle \frac{{F_{1+1}}^2+(-1{)}^{n+1}}{F_n}}$ より$$F_{n+2}{F}_n={F_{n+1}}^2+(-1{)}^{n+1}$$と変形できるので、これに $n=k$、$n=k+1$ を代入して$$\begin{gathered} F_{k+2}{F}_k={F_{k+1}}^2+(-1{)}^{k+1} \\ {F}_{k+3}{F}_{k+1}={F_{k+2}}^2+(-1{)}^{k+2} \end{gathered}$$
辺々加えて、順次式変形する。$$F_{k+2}{F}_k+F_{k+3}{F}_{k+1}={F_{k+1}}^2+{F_{k+2}}^2+(-1{)}^{k+1}+(-1{)}^{k+2}$$ $$\therefore F_{k+2}{F}_k+F_{k+3}{F}_{k+1}={F_{k+1}}^2+{F_{k+2}}^2$$ $$\therefore F_{k+3}{F}_{k+1}-{F_{k+1}}^2+F_{k+2}{F}_k-{F_{k+2}}^2=0$$ $$\therefore F_{k+1}(F_{k+3}-F_{k+1})+F_{k+2}(\underset{―}{F_k-F_{k+2}})=0$$ $$\begin{array}{rl}\therefore F_{k+1}(F_{k+3}-F_{k+1})& +F_{k+2}(\underset{―}{-F_{k+1}})=0\\ & (\because F_{k+2}=F_{k+1}+F_k)\end{array}$$ $$\therefore F_{k+1}(F_{k+3}-F_{k+1}-F_{k+2})=0$$いま、仮定より $F_{k+1}>0$ であるから$$F_{k+3}-F_{k+1}-F_{k+2}=0$$ $$\therefore F_{k+3}=F_{k+2}+F_{k+1}$$が従う。仮定より、 $F_{k+1}>0$ かつ $F_k>0$ であるから $F_{k+2}=F_{k+1}+F_k>0$ が成り立つ。よって $n=k+1$ のときも$\mathrm{①}$および$\mathrm{②}$が成り立つ。

以上、（A）と（B）より、数学的帰納法により任意の正の整数$n$について$\mathrm{①}$および$\mathrm{②}$が成り立つことが示された。

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（２）

以下では（１）で示した結果を用いる。

（A）$n=2,3$ のとき、$$\begin{array}{rl}{F}_{m+2}& =F_m+F_{m+1}\\ & =F_m{F}_1+F_{m+1}{F}_2\end{array}$$および$$\begin{array}{rl}{F}_{m+3}& =F_{m+1}+F_{m+2}\\ & =F_m+2F_{m+1}\\ & =F_m{F}_2+F_{m+1}{F}_3\end{array}$$より、$(\ast )$が成り立つ。

（B）$n$が$k(\ge 2)$以下のとき$(\ast )$が成り立つと仮定する。
$$F_{m+k}=F_m{F}_{k-1}+F_{m+1}{F}_k$$ $$F_{m+(k-1)}=F_m{F}_{k-2}+F_{m+1}{F}_{k-1}$$これらの辺々を加えると、$$F_{m+k}+F_{m+(k-1)}=F_m{F}_{k-1}+F_{m+1}{F}_k+F_m{F}_{k-2}+F_{m+1}{F}_{k-1}$$ $$\therefore F_{m+(k+1)}=F_m(F_{k-1}+F_{k-2})+F_{m+1}(F_k+F_{k-1})$$ $$\therefore F_{m+(k+1)}=F_m{F}_k+F_{m+1}{F}_{k+1}$$が導かれる。これより、$n=k+1$ のときも$(\ast )$が成り立つ。

以上、（A）と（B）より、数学的帰納法により$2$以上の任意の正の整数$n$について$(\ast )$が成り立つことが示された。

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（３）

正の整数$n$がある正の整数$m$で割り切れるとき、$n=mp$（$p$は負でない整数）と置ける。ここで、$p$に関する数学的帰納法を用いる。

（A）$p=1$ のときは $n=m$ なので $F_n=F_m$ より、$F_n$は$F_m$で割り切れる。

（B）$p=k$（$k$は正の整数）のとき$F_{mk}$が$F_m$で割り切れると仮定する。（２）で示した$(\ast )$式より、$$\begin{array}{rl}{F}_n& =F_{m(k+1)}\\ & =F_{mk}{F}_{m-1}+F_{mk+1}{F}_m\end{array}$$となるが、仮定より$F_{mk}$は$F_m$で割り切れるから、$F_n$も$F_m$で割り切れる。これより、$p=k+1$ のときも$F_{mp}$が$F_m$で割り切れることが従う。

以上の議論は$m$が$n$の約数であるときにつねに成り立つから、（A）と（B）より、数学的帰納法により任意の正の整数$n$について、$n$がある正の整数$m$で割り切れるとき$F_n$が$F_m$で割り切れることが示された。

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（４）

$F_{n+2}={\displaystyle \frac{{F_{n+1}}^2+(-1{)}^{n+1}}{F_n}}$より、$${F_{n+1}}^2=F_{n+2}{F}_n-(-1{)}^{n+1}$$と式変形できる。これに $n=2022$ を代入して、$$\begin{array}{rl}(F_{2023}{)}^2& =F_{2024}{F}_{2022}-(-1{)}^{2023}\\ & =F_{2024}{F}_{2022}+1\end{array}$$を得る。ここで、$F_{11}=89$ であること、および、$2024=11\times 184$ であることに着目すると、（３）の結果より$F_{2024}$は$F_{11}$、すなわち$89$で割り切れる。

よって、$(F_{2023}{)}^2$を$89$で割ったときの余りは$$1$$である。