巨大な有理数の1の位の数（1989年東京大学理系数学第4問）

解答例

$$\small \dfrac{10^{210}}{10^{11}}<\dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}<\dfrac{10^{210}}{10^{10}}$$ $$\small \therefore 10^{199}<\dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}<10^{200}$$よって整数部分の桁数は$$\color{red}{200} \quad \cdots (\text{答}) $$である。

$n=10^{10}+3$ と置けば $10^{10}=n-3$ となるから、与式は $\dfrac{(n-3)^{21}}{n}$ と変形できる。ここで$$\small \begin{align}(n-3)^{21}&=\displaystyle \sum_{k=0}^{21}{}_{21}\mathrm{C}_k n^{21-k}(-3)^k \\ &=\displaystyle nN-3^{21}\end{align} \cdots (*)$$と展開して整理できる。ただし $N=\small \displaystyle \sum_{k=0}^{20}{}_{21}\mathrm{C}_k n^{20-k}(-3)^k$ である。これより、$$\small \begin{align}\dfrac{(n-3)^{21}}{n} &=N-\dfrac{3^{21}}{n} \\ &=N-\dfrac{10460353203}{10000000003} \\ &=N-1-\dfrac{460353200}{10000000003} \end{align}$$となる。ここで、$n \equiv 3 \pmod{10}$、$3^{21} \equiv 3 \pmod{10}$ より、$(*)$から $N \equiv 1 \pmod{10}$ である。よって $N-1$ の$1$の位は$0$であるから、$$0<\dfrac{460353200}{10000000003}<1$$より、$\dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}$ の整数部分の$1$の位の数字は$$\color{red}{9} \quad \cdots (\text{答}) $$である。