整式の因数分解（2006年京都大学後期理系数学第1問）

解答例①

与えられた等式は$$\{A(x)\}^{2}=\{C(x)\}^{2}-\{B(x)\}^{2}$$ $$\therefore \quad\{A(x)\}^{2}=\{C(x)+B(x)\}\{C(x)-B(x)\}$$と整理できる。ここで、$B(x)$、$C(x)$はともに$1$次式だから $C(x)+B(x)$、$C(x)-B(x)$ は$1$次以下であり、$A(x)$が$1$次式であるから左辺の次数は$2$となる。よって $C(x)+B(x)$ と $C(x)-B(x)$ はともに$A(x)$の定数倍である。よって $pq=1$ を満たす複素数$p$、$q$を用いて$$\begin{cases}
C(x)+B(x)=p A(x) \\
C(x)-B(x)=q A(x)
\end{cases}$$と置けるから、辺々を加えて $2 C(x)=(p+q) A(x)$ を得る。ここで $p+q=0$ とすると$C(x)$は恒等的に$0$になるから$C(x)$が$1$次式であることに矛盾する。よって $p+q \ne 0$ が必要であるから、これより$$A(x)=\dfrac{2}{p+q} C(x)$$を得る。また、$$\begin{aligned} B(x) &=p A(x)-C(x) \\ &=\left(\frac{2 p}{p+q}-1\right) C(x) \end{aligned}$$となるから、$A(x)$と$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることが示された。

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解答例②

$a,b,c,p,q,r$を複素数として、$A(x)=ax+p$、$B(x)=bx+q$、$C(x)=cx+r$ と置く。ただし $a,b,c$ はいずれもゼロでない複素数である。このとき与えられた等式は$$\small (a x+p)^{2}+(b x+q)^{2}=(c x+r)^{2}$$ $$\small \therefore (a^{2}+b^{2}-c^{2})x^{2}+2(ap+bq-cr)x+(p^{2}+q^{2}-r^{2})=0$$となる。両辺が恒等的に一致するためには$$\begin{cases}
a^{2}+b^{2}-c^{2}=0 \quad \cdots ① \\
ap+bq-cr=0 \quad \cdots ② \\
p^{2}+q^{2}-r^{2}=0 \quad \cdots ③
\end{cases}$$が必要となる。$①$より $b^{2}=c^{2}-a^{2}$、$③$より $q^{2}=r^{2}-p^{2}$、$②$より $b^2 q^2=(cr-ap)^2$ を得るから、$$\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(r^{2}-p^{2}\right)=(c r-a p)^{2}$$ $$\therefore a^{2} r^{2}+c^{2} p^{2}-2 a c p r=0$$ $$\therefore \quad(a r-c p)^{2}=0$$ $$\therefore \quad a r-c p=0$$となる。よって $a:p=c:r$ が成り立つから$A(x)$は$C(x)$の定数倍である。全く同様にして $b:q=c:r$ も示されるから$B(x)$も$C(x)$の定数倍である。

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