東京工業大学2017年前期　第１問

続いては東工大の問題を見ていきます。予備校の掲載が遅すぎるのでTwitterは助かります(笑)。（私はアカウントを持っていませんが･･･）

今年の問題もシンプルですが威圧感があります。

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《問題》

次の条件(ⅰ)、(ⅱ)をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ.

(ⅰ) $N$の約数は$12$個.

(ⅱ) $N$の約数を小さい方から順に並べたとき、$7$番目の数は$12$.

ただし、$N$の約数には$1$と$N$も含める.

（東京工業大学2017　前期第１問）

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《考え方》

約数に関する問題です。約数の個数のヒントを基に攻めていきます。

まず、$12$が$N$の約数なので、$N$の約数には$12$の約数である$1$、$2$、$3$、$4$、$6$の５個が含まれます。

また、$12$は$N$の約数のうちで小さい方から$7$番目の数なので、上記以外にも$12$より小さい約数$d$を持つことになります。$12$以下の残りの自然数のうち$N$の約数となりうるのは$d=5,7,8,9,11$の$5$つです。

$10$が$N$の約数だとすると必然的に$5$も$N$の約数となり条件(ⅱ)に反してしまいます。よって$10$は$N$の約数とはなり得ません。

$d=5$のとき、$N$の約数は以下のように分布すると考えられます。

$1, 2, 3, 4, 5, 6,12 \left(=\dfrac{N}{6}\right), \dfrac{N}{5}, \dfrac{N}{4}, \dfrac{N}{3}, \dfrac{N}{2}, N$

よって$\dfrac{N}{6}=12$より$N=72$を得ますが、これは$5$の倍数でないので不適です。

$d=7,8,9,11$の$4$つの場合について、$N$の約数は以下のように分布すると考えられます。

$1, 2, 3, 4, 6, d, 12 \left(=\dfrac{N}{d}\right), \dfrac{N}{6}, \dfrac{N}{4}, \dfrac{N}{3}, \dfrac{N}{2}, N$

これにしたがって$N$の約数を考えていきます。

①　$d=7$のとき、$\dfrac{N}{7}=12$より$N=84$を得る。このとき

$1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84$

となり適しています。

②　$d=8$のとき、$\dfrac{N}{8}=12$より$N=96$を得る。このとき

$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96$

となり適しています。

③　$d=9$のとき、$\dfrac{N}{9}=12$より$N=108$を得る。このとき

$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108$

となり適しています。

④　$d=11$のとき、$\dfrac{N}{11}=12$より$N=132$を得る。このとき

$1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132$

となり適しています。

以上より、求める正の整数$N$は

$N=84,\ 96,\ 108,\ 132$

となります。

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（コメント）

こういう約数の問題では数え漏らしが無いか心配になりますね･･･。$N=2^{2+p} \cdot 3^{1+q} \cdot d$ などと置いても解答を作れそうです。

余談になりますが、整数問題で難しいと言える問題を多く出題しているのはここ数十年だと東工大か一橋大くらいです。東工大はやや難しすぎる年もあるので、一昔前の一橋大並みの整数問題が解けるようになれば整数分野は完璧と言って良いでしょう。