東京工業大学2018年第２問

今年の東工大では３元１次不定方程式が出題されました。国公立大の入試ではあまり見かけない題材です。

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《問題》

次の問に答えよ。

（１）$35x+91y+65z=3$ を満たす整数の組 $(x,\ y,\ z)$ を一組求めよ。

（２）$35x+91y+65z=3$ を満たす整数の組 $(x,\ y,\ z)$ の中で $x^2+y^2$ の値が最小となるもの、およびその最小値を求めよ。

（東京工業大学2018年　第２問）

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《考え方》

（１）が解ければ後はいつも通りです。

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整数の組 $(x,\ y,\ z)$ を取り敢えず見つけるだけで良いのですが、なかなか見当が付きにくいかもしれません。こういうときには合同式を利用します。

与式において $\bmod 5$ を考えると$$y \equiv 3 \ \pmod{5}$$となるので、まずは $y=3$ として考えてみます。すると与式は$$35x+65z=-270$$ $$\therefore 7x+13z=-54$$ $$\therefore 7x+13(z+4)=-2$$と変形できます。これより、$$\begin{cases} x=-4 \\ z+4=2 \end{cases}$$が容易に見つかります。よって求める整数組の一つは$$(x,\ y,\ z)=\color{red}{(-4,\ 3,-2)}$$と分かります。

続いて（２）ですが、要領は２元１次不定方程式とほとんど同様です。$(x,\ y,\ z)=(-4,\ 3,\ -2)$ のとき$$35 \cdot (-4)+91 \cdot 3+65 \cdot (-2)=3$$となるので、与式との差を辺々とって$$35(x+4)+91(y-3)+65(z+2)=0$$を得ます。$35=5 \cdot 7$、$91=7 \cdot 13$、$65=5 \cdot 13$ であり、$5$、$7$、$13$はどの２つも互いに素なので、整数$l$、$m$、$n$を用いて$$\begin{cases} x+4=13l \\ y-3=5m \\ z+2=7n \end{cases}$$と表せます。これらを与式に代入して整理すると$$l+m+n=0$$ $$\therefore l=-m-n$$を得ます。よって$$\begin{cases} x=-4-13(m+n) \\ y=3+5m \\ z=-2+7n \end{cases}$$となり、２つの整数パラメータ $m$、$n$ で与式のすべての整数解が表せることが分かります。

以上により $x^2+y^2$ は$$\{4+13(m+n)\}^2+(3+5m)^2$$と表せます。ここで $m+n$ と $m$ は任意の整数値をとることに注意しましょう。この式は(平方)+(平方)の形をしているので、最小となるためには各項が最小になればよいと分かります。まず $\{4+13(m+n)\}^2$ ですが、これは $m+n=0$ のとき最小となります。また、第2項の $(3+5m)^2$ は $m=-1$ のとき最小となります。したがって $x^2+y^2$ の最小値は$$\begin{align}&\ \ \ \ \  (4+13 \cdot 0)^2+(3-5)^2 \\ &=4^2+2^2 \\ &=\color{red}{20} \end{align}$$と求められ、そのときの整数組は $m=-1$、$n=1$ を $x$、$y$、$z$ に代入して$$(x,\ y,\ z)=\color{red}{(-4,-2,\ 5)}$$と求められます。

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（コメント①）

３元１次不定方程式というのはやや見慣れない題材だったかもしれません。ただただ、東工大を目指す受験生のレベルを考えれば易問に類する出題でしょう。整数組の一つを求めさせる設問を加えたことにより、かなり解きやすくなっていますので完答したいところです。

今年の東工大数学は大問が４つしか出題されていないようです。大問が４つになるのは2011年以来７年振りのことです。大問が減ってはいるものの、全体としての難度は昨年並み程度でしょうか。ここ２年出題されていた確率からの出題がありませんでしたが、なかなかバランスの良いセットだったと思います。

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（コメント②）

余談ですが本問の（２）で登場している $x^2+y^2$ は、$xyz$空間内の平面 $35x+91y+65z=3$ 上の格子点$(x,\ y,\ z)$を$xy$平面に対して正射影してできる点と原点との距離の二乗、という数学的な意味付けができます。まあ、これに気が付いたところで答案作成に役立つことはほとんど無いのですが･･･。

ただ、直線上の点をパラメータ表示するためには変数が１個必要なのに対し、平面上の点をパラメータ表示するためには変数が２個必要です。このことからも、与式 $35x+91y+65z=3$ のすべての整数解が２つの整数パラメータ $m$、$n$ で表せること、逆に言えばパラメータが少なくとも２つ必要であることが理解できると思います。一般解に変数が２つ残っており、これらが消去できずに焦ることを避ける方法の一つかもしれません。ただし３つの変数に対して方程式が１つなのですから、２つの変数が消去しきれないことは明白ですね。