零行列を含むブロック行列の行列式を簡単に求める方法

一般の場合を考えて$$X=\left[ \begin{array}{cc}A & O \\ C & D \end{array} \right]=[x_{ij}]$$と置き、$A$は$n$次正方行列、$D$は$m$次正方行列とします。このとき$X$は $s=n+m$ 次正方行列となります。

 

ここで、行列$X$の行列式は$$(*)\quad\det(X)= \sum_{\sigma \in S_n} {\rm sgn}(\sigma)x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{s\sigma(s)}$$で与えられます。ただし、$n$個の数字の置換全体の集合を$S_n$と置いています。

 

もとの行列$X$の零行列の部分に注目すると、$1\leqq i \leqq n$ および $n+1\leqq j \leqq s$ のとき $x_{ij}=0$ となるので、$(*)$における和は$$\{\sigma(1),\sigma(2),\cdots,\sigma(n) \}=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}$$について取れば良いことになります。

 

このとき、残りの置換について、$$\{\sigma(n+1),\sigma(n+2),\cdots,\sigma(s) \}=\{n+1,\,n+2,\,\cdots,\,s\}$$となります。いま、これらの２つの置換を、$$\begin{align}\tau&=\left(\begin{array}{cccc}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{array}\right)\\ \\\rho&=\left(\begin{array}{cccc}n+1&n+2&\cdots&s\\\sigma(n+1)&\sigma(n+2)&\cdots&\sigma(s)\end{array}\right)\end{align}$$と置きます。ただし、$\tau \in S_{n}$、$\rho \in S_{s-n}$ です。また、元の置換$\sigma$は $\sigma=\tau \rho$ で表すことができます。

 

置換の符号について、$${\rm sgn}(\sigma) = {\rm sgn}(\tau \rho)={\rm sgn}(\tau){\rm sgn}(\rho)$$が成り立つので、$X$の行列式$(*)$は、$$\small \begin{align} & \quad \det(X) \\ &= \sum_{\tau\rho} {\rm sgn}(\tau \rho)\, x_{1\tau(1)}\cdots x_{n\tau(n)} \, x_{n+1\rho(n+1)}\cdots x_{s\rho(s)} \\ &=\left( \sum_{\tau} {\rm sgn}(\tau) \, x_{1\tau(1)}\cdots x_{n\tau(n)} \right)\left( \sum_{\rho} {\rm sgn}(\rho) \, x_{n+1\rho(n+1)}\cdots x_{s\rho(s)} \right)\\ &=\det(A)\,\det(D)\end{align}$$で与えられます。

$\begin{align}
& \quad \left|\begin{array}{cc:ccc}
3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
\hdashline \color{red}{0} & \color{red}{0} & 7 & 1 & 2 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & 3 & 2 & 5 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & 0 & 0 & -6
\end{array}\right| \\
&= \left|\begin{array}{cc}
3 & 5 \\
2 & 6
\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc:c}
7 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 5 \\
\hdashline \color{red}{0} & \color{red}{0} & -6
\end{array}\right| \\
&= -6\left|\begin{array}{cc}
3 & 5 \\
2 & 6
\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right| \\
&= -6 \cdot 8 \cdot 11 \\
&= -528 \quad \cdots (\text{答})
\end{align}$

$\begin{array}{l}
\\
& \quad \left|\begin{array}{lllll}
3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\
3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\
2 & 7 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\
1 & 5 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0}
\end{array}\right| \\
&=\left|\begin{array}{ll:lll}
2 & 7 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\
1 & 5 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\
\hdashline 3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\
3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 3
\end{array}\right| \quad \small{(\text{行を入れ替えた})} \\
&= \left|\begin{array}{ll}
2 & 7 \\
1 & 5
\end{array}\right|\left|\begin{array}{lrr}
7 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 9 & 3
\end{array}\right| \\
&= 3\left|\begin{array}{lrr}
7 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 9 & 3
\end{array}\right| \\
&= 3 \cdot 3\left|\begin{array}{lrr}
7 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 1
\end{array}\right| \begin{array}{r} \\ \\ \quad \small{(\leftarrow \text{3を括り出した}) }\end{array}\\
&= 3 \cdot 3\left|\begin{array}{ccc}
0 & -13 & -5 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 1
\end{array}\right| \begin{array}{r} \quad \small{(\leftarrow ①+②\times(-7))} \\ \\ \\ \end{array} \\
&= -9\left|\begin{array}{c:cc}
1 & 2 & 1 \\
\hdashline \color{red}{0} & -13 & -5 \\
\color{red}{0} & 3 & 1
\end{array}\right| \quad \small{(\text{行を入れ替えた})} \\
&= -9\left|\begin{array}{cc}
-13 & -5 \\
3 & 1
\end{array}\right| \\
&= -9 \cdot 2 \\
&= -18 \quad \cdots (\text{答})
\end{array}$