3文字3成分の最大公約数（2022年東京工業大学数学第2問）

解答例

 

（１）

$a+b+c$、$bc+ca+ab$、$abc$ のすべてを割り切るような素数$p$が存在すると仮定する。

 

このとき$p$は$abc$を割り切るので、$a$、$b$、$c$の少なくとも一つは$p$の倍数となる。それぞれの多項式の対称性に注目すると、$a$が$p$の倍数だと仮定しても一般性は損なわれない。

 

いま、$bc+ca+ab$ および$a$は$p$の倍数と仮定しているから、$$bc+ca+ab=a(b+c)+bc$$より、$p$は$bc$を割り切る。そこで、一般性を損なわず$b$が$p$の倍数だと仮定できる。

 

$a+b+c$、$a$、$b$は$p$の倍数と仮定しているから、$p$は$c$を割り切ることになる。しかしこれは「3つの正の整数$a,b,c$の最大公約数が$1$である」という所与の条件に矛盾し、不合理である。よって、$a+b+c$、$bc+ca+ab$、$abc$ のすべてを割り切るような素数$p$は存在しない。

 

以上から、$a+b+c$、$bc+ca+ab$、$abc$ の最大公約数は$1$であることが示された。

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（２）

$$\begin{array}{rl}& a^2+b^2+c^2\\ =& (a+b+c{)}^2-2(bc+ca+ab)\\ \\ & a^3+b^3+c^3\\ =& (a+b+c)\{(a+b+c{)}^2-(bc+ca+ab)\}+3abc\end{array}$$と式変形できることに注目する。これより、$a+b+c$ と $a^2+b^2+c^2$ の最大公約数は $a+b+c$ と $2(bc+ca+ab)$ の最大公約数に一致し、$a+b+c$ と $a^3+b^3+c^3$ の最大公約数は $a+b+c$ と $3abc$ の最大公約数に一致する。

 

よって求める最大公約数は、$a+b+c$ と $2(bc+ca+ab)$ と $3abc$ の最大公約数に等しい。（１）の結論より、$a+b+c$、$bc+ca+ab$、$abc$ の最大公約数は$1$であるから、最大公約数となり得るのは $1$、$2$、$3$、$6$ に限られる。

 

ここで、$(a,b,c)=(1,1,1)$、$(1,1,2)$、$(1,1,3)$、$(1,1,4)$ のとき、$a+b+c$ と $2(bc+ca+ab)$ と $3abc$ の最大公約数は、実際にそれぞれ $3$、$2$、$1$、$6$ となる。よって、求める正の整数は$$1,2,3,6$$である。